热温度场有限元.ppt

第8章 温度场与热变形问题 工程中的许多结构在高温条件下工作或由于工作过程中运动副的摩擦发热，都会导致结构产生温度升高，产生热变形或温度应力，因此，减少或控制热变形/温度应力是设计中不可忽视的问题。 工程设计中，常期望准确地计算出结构各个部位的温升或热变形量，分析结构的热平衡状况，从而达到改进结构设计或环境设计，减少热变形对工作精度的影响。 本章介绍： 1、温度场问题的基本方程 2、平面稳态温度场的有限元法 3、热变形的计算 8-1 温度场问题的基本方程 一般三维问题，物体各点的温度是坐标和时间变化的，即 8-1 温度场问题的基本方程 设微元在dt内，温度升高为： 8-1 温度场问题的基本方程 8-1 温度场问题的基本方程 设微元体内有热源，其热源密度为Q(x,y,z,t)，则该热源在dt内所共给的热量为 8-1 温度场问题的基本方程 整理得： 8-1 温度场问题的基本方程 8-1 温度场问题的基本方程 8-1 温度场问题的基本方程 8-1 温度场问题的基本方程 8-1 温度场问题的基本方程 1、三维瞬态热传导方程及边界条件 8-2 平面稳态温度场的有限元法 1、泛函与变分 函数 y=f(x) 求y 的极值，即求微分，由dy=0 可得。 泛函J=J [y(x)] 函数y(x)为自变量，J为函数y的函数，称J为y的泛函，求泛函的极值，即求变分， 由 可得。 例：平面上AB两点，连接AB的曲线很多，要求一条曲线使重物靠自重由A沿此曲线滑到B所需的时间最短，即求最速下降曲线。 显然，AB间直线路径最短，但重物运动的速度增长并不是最大，即下滑的时间并非最短。 8-2 平面稳态温度场的有限元法 2、平面稳态温度场的泛函 求满足平面温度场方程及边界条件的温度场T(x,y),设k为常数 8-2 平面稳态温度场的有限元法 3、温度场单元分析 图示求解域离散为若干三角形单元，含有边界的单元，称为边界单元，任取一个单元i,j,k,如图。 A、温度插值函数 8-2 平面稳态温度场的有限元法 B、单元温度刚度矩阵 从温度场插值函数可知，温度场已离散到全部节点上，即求温度场实际是求节点的温度值。因而，泛函式实际已成为描述未知节点温度的多元函数，而不是温度场T(x,y)的函数，即问题转化为求多元函数的极值 设求解域有n个节点温度未知量，则泛函J[T(x,y)]转化为 的形式，极值条件为： 8-2 平面稳态温度场的有限元法 上式第一部分为内部单元的温度刚阵： 对于内部单元的温度刚阵，i,j,k三点轮换，记为矩阵形式： 8-2 平面稳态温度场的有限元法 第二部分： 记为矩阵形式： 两部分相加可得边界单元的温度刚阵： 8-2 平面稳态温度场的有限元法 3、整体温度场方程 8-2 平面稳态温度场的有限元法 8-3 热变形的计算 当弹性体的温度改变时，体内各部分将随温度变化而产生变形，这种变形常称为热变形。考虑到弹性体实际工作中都受到外界和体内各个部分间的约束，故热变形往往不能自由发生，从而将导致体内产生应力，这种应力常称为热应力。与之对应的温度的改变常称为热载荷。 设二维平面问题的弹性体两个瞬时的温度变化为 ，材料的线膨胀系数为 ，对各向同性材料，热膨胀只产生正应变，不伴随产生剪应变。即 若将物体由热变形产生的应变可视为物体的初应变，则计算热应力只需算出热变形引起的初应变，求得相应初应变引起的等效节点载荷（温度等效节点载荷），然后按通常求解刚度方程计算出节点位移即可。 8-3 热变形及热应力的计算 设热变形引起的初应变： 则考虑初应变情况的弹性方程(如平面应力问题)： 应力方程： 对比不考虑初应变的应力方程： 刚度方程： 8-4 温度场分析实例 8-4 温度场分析实例 8-4 温度场分析实例 8-4 温度场分析实例 8-4 温度场分析实例 * x y z dx dz dy y Q 热平衡原理：任一dt时间内，物体内任一微元体所积蓄的热量(即温度升高所需的热量)等于传入该微元体的热量与微元体内热源所产生的热量之和，即 微元温度 升高 所需热量 传入微元 的 净热量 微元内 产生的 热量 ＝ ＋ 相应所积蓄的热量为： 同一时间内，微元体沿x方向传入和传出的热量之差，即净热 量为： 类似，y，z方向的净热量： 代入上式得传入微元体净热量为： 即传入微元体的净热量为： 由热传导定律：热流密度与温度梯度成正比，而方向相反，即： 微元体温度升高所需的热量 三个方向传入微元体的净热量 微元体内热源产生的热量 ——物体密度 c ——比热，单位质量物体温度升高