电磁场之矢量场的环量及旋度.ppt

重庆大学电气工程学院; 电磁场原理; ? 2009 by 杨帆; yangfancqu@ CQU CHONGQING UNIVERSITY CQU CQU CQU CQU CQU CQU 1.4 矢量场的环量及旋度 1、环量 下面从变力作功问题引入矢量场环量的概念。 一段积分路径及其细分 θi Δli Fi b a ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。 （1）定义：矢量场的环量就是指矢量场沿闭合线l的线积分 将所有元段上的元功求和，求当N??、Δli?0时的极限 即得沿路径l由a到b 变力F(r)作的功它是标量。若将式中的F(r)看成是任意的矢量场，则 就代表矢量场F(r)沿路径l的标量积分。 矢量场沿闭合路径的线积分，称为矢场的环量(circulation)。 用C表示 1.4 矢量场的环量及旋度 矢量场的环量可能为零，也可能不为零: ① 若有 ，该矢量场就是保守场或守恒场； ② 若有 ，该矢量场叫做旋涡场。 （2）直角坐标系中表达形式 在直角坐标系中，设 F( x,y,z ) = Fx ( x,y,z )ex+ Fy ( x,y,z )ey+ Fz ( x,y,z )ez dl = dx ex+ dy ey+ dz ez 则环量可写成 1.4 矢量场的环量及旋度 矢量场的环量给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。 在连续、可微的矢量场F(r)中，过点P 作一微小有向曲面?S，按其正法向方向确定面元矢量?S=?Sen’。l为面元的周界，其循行方向与?S的方向按惯例应符合右手法则，如图所示。当?S?点P 时，存在极限 上式称为环量密度 过点P 的有向曲面?S 取不同的方向，其环量密度将会不同。 面元法向矢量与周界循行方向的右手关系 P l ?S ?S 2、旋度 1.4 矢量场的环量及旋度 P 点的旋度定义为该点的最大的环量密度，并令其方向为en ,即 旋度与环量密度的关系 1.4 矢量场的环量及旋度 它是矢量坐标函数，表征旋涡场源的空间分布特性 通过curlF，可以求得?S作任意取向时场中某点处单位面积上的环量 旋度直角坐标式的推导 于是得 推导旋度的直角坐标式所取的面元和它的围线 Fz l1 x y z Δsx (x,y,z) Δy Δz Fy Fz(x,y+Δy,z) Fy(x,y,z+Δz) o 1.4 矢量场的环量及旋度 先计算x分量 同理可求得curlF 的y，z分量 所以 或用? 算符将其写成 1.4 矢量场的环量及旋度 1.4 矢量场的环量及旋度 为旋度算符。 称 一律用符号 表示 F(r)的旋度。 其中所包含的六个偏导数都是场分量在与其相垂直的横坐标方向上的偏导数，故称为横向偏导数。 旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 在矢量场中，若??F=J?0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为 旋度源(或涡旋源)； 点P 的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 若矢量场处处??F=0，称之为无旋场或保守场。 有关旋度的几个关系式 位置矢量的旋度为零，即 f(r)与F(r)之积 fF 的旋度有恒等式 f(R) 与 R 之积的旋度，有 证明： 1.4 矢量场的环量及旋度 例2 已知F=(2x?y?z)ex?(x+y?z2)ey+(3x?2y+4z)ez试就图所示xoy平面上 以原点为心、3为半径的圆形路径，求F 沿其逆时针方向的环量。 解 在xoy平面上，有 F = (2x?y)ex+(x+y)ey+(3x?2y)ez ， dl=dxex+dyey 设 x = 3cos? ，y = 3sin? 则 x y (x,y) l 3 ? o 1.4 矢量场的环量及旋度 1.4 矢量场的环量及旋度 作业：1.8、1.9、1.12 重庆大学电气工程学院; 电磁场原理; ? 2009 by 杨帆; yangfancqu@ CQU CHONGQING UNIVERSITY CQU CQU CQU CQU CQU CQU