离散系统的稳定性与稳态误差.ppt

*Automatic Control Theory * 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差 离散系统的稳定性的分析方法：将线性连续系统在 s平面上分析稳定性的结果 离散线性系统在 z平面上的稳定性。 1. s 域到 z 域的映射关系 相当于取s平面上的虚轴映射到 z 平面上的轨迹：以原点为圆心的单位圆，相位：相应的点沿单位圆变化无穷多圈 结论：在等 线的左半平面映射为z平面上单位圆的内部，右半平面映射为单位圆的外部。 s平面的虚轴的左半平面映射为z平面上单位圆的内部，右半平面映射为单位圆的外部。 离散系统稳定的充要条件：从离散系统的差分方程的齐次解的收敛性，或者从 z域中离散系统的特征方程的根的研究得到结论。 离散系统的稳定性定义：若离散系统在有界输入序列的作用下，其输出序列也是有界，则称该离散系统是稳定的。 线性定常连续系统稳定的充要条件：系统齐次方程的解是收敛的，或者系统特征方程根均具有负实部，或者系统传递函数的极点严格均在左半 s 平面。 设：系统差分方程 系统齐次方程 设通解： 系统特征方程： （1）离散系统稳定的充要条件（时域） 设特征方程具有各不相同的特征根： 通解： 系统稳定的充分必要条件： 相应的线性定常离散系统是稳定的。 （2）离散系统稳定的充要条件（z域） 对于典型的离散系统结构的闭环脉冲传递函数为 G(s) H(s) 系统特征方程 设特征方程的根（闭环极点）各不相同 由s平面到z平面的映射关系 s平面的左半平面对应的稳定区域：z平面上单位圆的内部； s平面的右半平面对应的不稳定区域： z平面上单位圆的外部； s平面的虚轴对应的临界稳定：z平面上单位圆周。 系统稳定的充分必要条件：离散特征方程的全部特征根都在单位圆内，即 例：设典型离散系统 采样周期 T=1(s)，试分析系统的闭环稳定性。 解：开环脉冲传递函数 特征方程 结论：闭环系统不稳定。 离散系统的稳定性判据 连续系统的代数稳定判据—劳斯-胡尔维茨稳定判据 判定： 特征方程的根是否都在左半s平面？ 离散系统的稳定性 判定：特征方程的根是否都在z平面的单位圆内？ 将劳斯-胡尔维茨判据用于离散系统的稳定性判定，首先要将 z平面上的稳定域单位圆内 新平面上的左半平面 Z域 w域 1. W变换（双线性变换）与劳斯稳定判据 令 注意到 z和 w都是复变量，则有 显然： 考察上式：在z平面的单位圆上，满足 对应在 w平面上： 表明：w平面上的虚轴对应于z平面上的单位圆周。 Z平面单位圆内 Z平面单位圆外 w平面左半平面 w平面右半平面 劳斯稳定判据在离散系统中的应用：将离散系统在z域的特征方程变换为w域的特征方程，然后应用劳斯判据。 例1：设闭环离散系统如图所示，T=0.1(s)，试求系统稳定时 K 的极限值。 进一步整理后，w域的特征方程： 劳斯表 由劳斯稳定判据 使系统闭环稳定的取值范围 极限增益 2. Jury（朱利）稳定判据 Jury稳定判据是根据离散系统的z域特征方程 的系数，直接判别特征根是否严格位于z平面上的单位圆内。 设离散系统的 阶闭环特征方程 利用特征方程的系数，构造 、 列Jury矩阵。 Jury矩阵的第一行系数： Jury矩阵的第二行系数： 第三行系数 第四行系数 第五行系数 第六行系数 第七行系数 第八行系数 最后行系数 Jury稳定判据：特征方程 的根，全部严格位于 z平面上单位圆内的充要条件是： 以及下列（n-1）个约束成立： 若上述条件均满足，系统稳定。 *推论1：特征方程的根全部在单位圆内的一个充分条件是 *推论2：具有系数的特征方程，其多项式为首一多项式 的根全部都在单位圆内的充分条件是 例2 设一离散时间单位反馈系统，采样周期 T=1（s），其开环脉冲传递函数 试用Jury稳定判据确定系统的 K 值范围。 解：闭环特征方程 对于二阶系统应用Jury稳定判据，只要用到下面3个约束条件： 综合（1）、（2）、（3） 例3： 结果见P325 采样周期与开环增益对稳定性的影响 连续系统的稳定性取决于：开环增益、闭环极点、传输延迟等。 离散系统的稳定性：以上因素，再加上采样周期 T。 举例说明：设带有零阶保持器的离散系统如图所示 由 Jury 稳定判据 或 w域的劳斯稳定判据 w域的特征方程 *Automatic Control Theory