第4章1-4 数字滤波器的原理和设计方法 数字信号处理 教学课件.ppt

第四章 数字滤波器的原理和设计方法 内容提要 模拟滤波器的频率响应Ha(jΩ)以及数字滤波器的频率响应H(ejω)分别为 由图看出，由于Ha(jΩ)不是充分限带的，所以H(ejω)产生了很大的频谱混叠失真，尤其在高频部分。 四、优缺点 从以上讨论看出，冲激响应不变法使得数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系，ω= ΩT。因而一个线性相位的模拟滤波器可以映射成一个线性相位的数字滤波器。 但是，因为有频率混叠效应，所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器，而高通和带阻滤波器不宜采用冲激响应不变法，否则要加保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率。对于带通和低通滤波器，需充分限带，若阻带衰减越大，则混叠效应越小。 4.4.2 双线性变换法 为了消除频谱的混迭效应，可以考虑先将S平面压缩到一个中介平面s1的[-π/T, π/T]横带内，再映射到Z平面上，从而可以消除频谱混迭。 一、变换原理 双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法，为了克服多值映射这一缺点，我们首先把整个s平面压缩变换到某一中介的s1平面的一条横带里(宽度为2π/T，即从-π/T到π/T)，其次再通过上面讨论过的标准变换关系：z=es1T将此横带变换到整个z平面上去，这样就使s平面与z平面是一一对应的关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象。如下图所示。 将s平面整个jΩ轴压缩变换到s1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T一段，可以采用以下变换关系： 这样Ω=±∞变到Ω1=±π/T，Ω=0变到Ω1=0，可将上式写成： 解析延拓到整个s平面和s1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，则得 再将s1平面通过以下标准变换关系映射到z平面： 这样就得到s平面和z平面的单值映射关系为： 一般来说，为了使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应的关系，可引入待定常数c，使Ω、s变成： 从而， (4.40) 上面两式是s平面和z平面之间的单值映射关系，这种变换就称为双线性变换。 二、变换常数c的选择 用不同的方法来选择c就使模拟滤波器频率特性与数字滤波器频率特性在不同频率点处有对应的关系，也就是可以调节频带间的对应关系。有两种方法选择常数c： (1)采用使模拟滤波器与数字滤波器在低频处有较确切的对应关系，即在低频处有Ω≈Ω1。当Ω1较小时有 从而， 因而可得， 此时，模拟原型滤波器的低频特性近似等于数字滤波器的低频特性。 (2)采用数字滤波器的某一特定频率(例如截止频率ωc=Ω1cT)与模拟原型滤波器的一个特定频率Ωc严格相对应。即 (4.42) 则有 这一方法的主要优点是在特定的模拟频率和特定的数字频率处，频率响应是严格相等的，因而可以较准确的控制截止频率的位置。 三、逼近的情况 由式4.40确定的双线性变换，确实符合我们提出的对变换关系应满足的两点要求： (1)首先把z=ejω代入(4.40)式，可得 即s平面的虚轴确实与z平面的单位圆相对应。 (2)其次，将s=σ+jΩ代入4.40式，得 因此 由此看出，当σ＜0时，|z|＜1；σ0时，|z|1；σ＝0时，|z|＝1。也就是说，s的左半平面映射到z平面的单位圆内，而s的右半平面映射到z平面的单位圆外(同样可得s的虚轴映射到z平面单位圆上)。因而稳定的模拟滤波器，经双线性变换后，所得到的数字滤波器也一定是稳定的。 四、优缺点 除了这两点满足要求外，双线性变换最大的优点是避免了频率响应混叠现象，讨论如下： (4.42)式表示了模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系，重写如下： (4.42) 它表明s平面与z平面是单值的一一对应关系，s平面整个jΩ轴单值对应于z平面单位圆的一周，即频率轴是单值变换关系。 由图看出，s平而的正、负虚轴分别映射成z平面单位圆的上半部分(辐角ω为正)及下半部分(辐角ω为负)，频率轴是单值变换关系，且Ω→∞时，ω=π为折叠频率，故不会有高于折叠频率的分量，这就避免了冲激响应不变法的频率响应混叠现象。 但是又产生了新的问题，除了在零频率附近，(4.42)式的频率变换关系接近于线性关系外，当Ω增加时，变换关系就是非线性的了，也就是频率Ω与ω之间存在着严重的非线性关系。 由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了问题，首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后就得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系就要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数(这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性)，不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变。 双线性变换中数字域频率ω和模拟频率Ω之间的非线性关