第三章 分析力学基础 （理论力学Ⅱ）.ppt

第三章分析力学基础 § 3－1 自由度和广义坐标 § 3－2 以广义坐标表示的质点系平衡条件 例 3－1 例 3－2 例 3－3 § 3－3 动力学普遍方程 例 3－4 例 3－5 § 3－4 第一类拉格朗日方程 例 3－6 § 3－5 第二类拉格朗日方程 例 3－7 例 3－8 § 3－6 拉格朗日方程的初积分 例 3－9 如图所示的运动系统中 可沿光滑水平面移动 两个物体用无重杆连接 试建立此系统的运动微分方程 重物 的质量为 摆锤 的质量为 杆长为l 解： 取系统为研究对象 建立坐标系如图 设质点 的坐标为 质点 的坐标为 则系统的方程为 （a） 约束方程对各质点坐标的梯度项 （b） （c） 作用在各质点上的主动力为 （d） 将式（b）（c）（d）代入式（3－19）得 （e） 将式（a）两边对时间求二阶导数 （f） 与式（e）式联立 消去 得到系统的运动微分方程 （g） 而 （h） 与矢量力学的运动学方程相对照 可知 是光滑接触面的约束力 是二力杆 的内力 设由n质点组成的系统受s个完整约束作用（式（3－3）） 系统具有N=3n-s个自由度 设 为系统的一组广义坐标 且由式（3－3）中可以解出 （3－3a） 对上式两边求变分 得到 注意 将以上两式代入式（3－15）式并注意交换求和次序 可得 对于完整约束系统 其广义坐标是相互独立的 故 是任意的 为使上式恒成立 必须有 （3－20） 方程组（3－20）中的第二项与广义力 相对应 可称为广义惯性力 式（3－20）不便于直接应用 为此可作如下变换： （1） （3－21） 证明：由方程（3－3a）两边对时间求导数 注意 和 只是广义坐标和时间的函数 将上式两边对 求偏导数 即得式（3－21） （2） （3－22） 证明：这实际上是一个交换求导次序的问题 由式（3－3a） 对时间求微分 （3－23） 而 （3－24） 若函数 的一阶和二阶偏导数连续 则式（3－23）与式（3－24）相等 从而式（3－22）成立 （3）由式（3－21）式（3－22）有 （3－25） 其中 为第i个质点速度的平方 为质点系的动能 将式（3－25）代入式（3－20） 得到 （3－26） 式（3－26）称第二类拉格朗日方程 简称拉格朗日方程 该方程组为二阶常微分方程组 其中方程式的数目等于质点系的自由度数 如果作用在质点系上的主动力都是有势力（保守力） 则广义力 可写成用质点系势能表达的形式（式（3－13）） 于是拉格朗日方程（3－26）可以写成 （3－26a） 引入拉格朗日函数（又称为动势） 并注意势能不是广义速度的函数 则拉格朗日方程又可以写成 （3－26b） 如图所示的系统中 轮A沿水平面纯滚动 轮心以水平弹簧联于墙上 A，B两轮皆为均质圆盘 质量为 的物块C以细绳跨过定滑轮B联于点A 半径为R 质量为 弹簧刚度为k 质量不计 当弹簧较软 在细绳能始终保持张紧的条件下 求此系统的运动微分方程 解： 此系统具有一个自由度 以物块平衡位置为原点 取x为广义坐标如图 以平衡位置为重力零势能点 取弹簧原长处为弹性力零势能点 系统在任意位置x处的势能为 其中 为平衡位置处弹簧的伸长量 由运动学关系式 当物块速度为 时 轮B角速度为 轮A质心速度为 角速度亦为 此系统的动能为 系统的动势为 代入拉格朗日方程 得 注意到 则系统的运动微分方程为 仍以例3－6为例 如图所示的运动系统中 可沿光滑水平面移动 两个物体用无重杆连接 试建立此系统的运动微分方程 重物 的质量为 摆锤 的质量为 杆长为l 该问题也可以用第二类拉格朗日方程来求解 解： 选 和 为广义坐标 则有 （a） 将式（a）两端对时间求导数 得 （b） 系统的动能 选质点 在最低处时的位置为系统的零势能位置 则系统的势能为 由此得 把以上结果代入拉格朗日方程中 得 如果质点 摆动很小 可以近似地认为 且可以忽略含 和 的高阶小量 上式可改写为 （c） （d） 从以上两式中消去 得到 （e） 这是自由振动的微分方程 其解为 （f） 固有角频率为 摆动周期 （g） 如果 则质点 的位移 将很小 质点 的摆动周期将趋于普通单摆的周期 若将式（e）代入（d） 得到 （h） 将式（f）代入 可见质