第八章 等参数单元.ppt

写成矩阵形式 第八章 等参数单元 当 r=0, 以 代替 求解是否收敛还需看位移函数是否满足三个条件: 位移函数中包含有刚体位移 位移函数中包含有常应变 位移函数内部连续和边界协调 由于刚体位移和常应变状态可写成下列形式: 第八章 等参数单元 §8-4 等参数单元的收敛性 但上二式可化成下式: 根据形函数的性质: ΣNi=1 第八章 等参数单元 所以构成的位移函数包含刚体位移和常应变 多项式在单元内部无奇异点，所以连续。相邻单元的边界上可由线上节点座标唯一确定，而母单元相邻边界都是直线，且形函数相同，所以交界线上的位移由节点位移唯一确定，相邻单元连续。 则上二式都化成 六面体 20节点等参数单元 母单元是边长为2的立方体，通过映射可得一曲面六面体 第八章 等参数单元 §8-5 空间等参数单元 三维等参数单元的位移函数 第八章 等参数单元 根据形函数特性建立位移模式: 第八章 等参数单元 形函数Ni与位移函数具有相同的幂次。 先构造N1 (ξ, η, ζ, )： N1 (ξ, η, ζ, ) 在2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.12,13,14,15,16,17,18,19,20点的值为零，在1点的值为 1。在点2, 10, 3, 19, 7,14, 6,18 所组成的平面其方程为ξ-1=0,在点5,13,6,14,7,15,8,16 所组成的平面其方程为η-1=0,在点4,11,3,19,7,15,8,20 所组成的平面其方程为ζ-1=0, 在点9,12,17所组成的平面其方程为ξ+η+ζ+2=0 所以可得 第八章 等参数单元 在母单元各顶点都可通过类似的方法获得形函数，再建 立各边中点的形函数N9 第八章 等参数单元 因此可得出的N1,N2,……N20 的 形函数： i=1,2,3,4,5,6,7,8 i=10,12,14,16 i= 9,11,13,15 i= 17,18,19,20 三维等参数单元的应变 第八章 等参数单元 座标变换的公式也由Ni式确定: x=ΣNi(ξ,η,ζ)xi y= ΣNi(ξ,η,ζ)yi z= ΣNi(ξ,η,ζ)zi 三维等参数单元的应力: 第八章 等参数单元 通过下式变换: [J]*称为[J]的伴随矩阵,它的元素Jij*是[J]元素Jji 代数余子式。 {σ}=[D][B]{δ}e [Si]=[D][Bi] i=1,2,3,……20 [Si]可由下式表达: 第八章 等参数单元 三维等参数单元的刚度矩阵 [K]e是一个20行20列的子矩阵,每一个[Kij]子矩阵具有3行3列 三维等参数单元等效节点力的计算 体积力的等效节点力 第八章 等参数单元 i=1,2,3……20 表面力的等效节点力: ds是表面上的微元, 如果是在 ζ=1的面上将ds化成dξdη。 第八章 等参数单元 第八章 等参数单元 要 点 采用等参数单元的意义 等参数名称的来由 如何根据形函数的特性建立位移函数 数值积分采用高斯积分法 §8-1 如何提高有限元法计算精度 — 采用等参数单元 第八章 等参数单元 8-1-1 采用等参数单元的意义 1. 找到结构物实际变形的模式，然后取与实际变形模式一致的单元离散结构物。 2. 从三角形单元到矩形单元，随着单元位移函数中变量幂次的增加则单元内应力位移的计算精度提高，所以就需要找一些高阶的多项式作为单元的位移模式建立新的单元。常用的多项式是根据杨辉三角形的次序建立的。 3. 由于项数取得多就必须增加单元的自由度，即增加单元节点，于是就出现了等参数单元。 8-1-2 等参数单元 第八章 等参数单元 每一种等参数单元有二种形式：一种形式在局部座标 ξ η 或 ξ η ζ 中，是以边长为2的正方形单元或边长为2的立方体单元用作计算称为母单元；另一种形式在整体座标 x y或x y z中，通过母单元映射到整体座标上的单元用于离散结构物称为子单元。由于母单元上的位移函数与座标变换的函数具有相同的参数。这就是等参数单元名称的来由。 母单元 的位移函数: 座标变换的映射关系: 第八章 等参数单元 §8-2 平面等参数单元 8-2-1 四边形四节点等参数单元 四边形四节点单元位移模式: 其中 母单元 若以母单元上12边为例，通过映射可得在平面内任一直线，12边的方程为 η= -1,代入 第八章 等参数单元 通过局部座标与整体座标的映射关系把母单元变换到整体座标上成为一个任意四边形用于离散结构物，它能适合于任意曲边的形状。 同理可得 第