组合数学ch4polya定理1.ppt

Ch4 Polya计数定理 引论 引论 考虑下面的计数问题：把一个2?2的方格棋盘用绿或白两色涂色，如果棋盘可以随意转动，问有多少种不同的涂色方案？ 引论 且看上图，若棋盘固定不 动，每个方格都可以涂上绿或白色，有两种选择，根据乘法法则，共有2?=16种不同的涂色方案。但当棋盘可转动时，其中的一些方案可以变成另一些方案。如方案3逆时针旋转90o即得方案4。同样，方案也可以变成方案5和6，于是我们说方案3，4，5，6是同一类方案。为真正求出不同的方案数。我们需要新的工具。 1. 群的概念 群论是现代数学非常重要的分支, 群论产生的开 端非常平凡, 但是群论的创立者却充满了传奇. 1. 群的概念 形如 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程的求根公式直至 16世纪才被发现.它是由意大利数学家费罗(Ferro) 和丰塔那(Fontana) 彼此独立得到的. 1. 群的概念 1545年, 卡尔达塔(Cardano)在他的《大术》(Ars Magna)一书中公开发表了丰塔那的方法. 这部书还 讲述了费拉里( Ferrari)求解四次方程的方法. 但事情的发展似乎突然停了下来. 虽然有很多数学家 作出了努力, 其中包括18世纪中叶伟大的瑞士数学家 欧拉(Euler), 但没有一个人能找出五次方程的求根 公式. 1. 群的概念 拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测: 这样的求根公式不存在. 1824年, 挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格朗日的 看法. 但是虽然没有通用公式, 有些特殊的五 次方程有求 根公式, 那么自然会问: 如何判定一个给定的五次方 程是否有这样的求根公式? 阿贝尔去世(1829年, 26岁)前一直在竭尽全力地研究 这个问题. 1. 群的概念 在这一时期, 碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这 个问题, 而且最终取得了成功, 他就是伽罗华(Galois). 可是这位年轻人获得的非凡成果, 在他因决斗去世11 年后才开始得到数学界的承认. 伽罗华1811年10月降生于巴黎近郊. 14岁那年因考试不及格而重上三年级. 1. 群的概念 15岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时, 伽罗华失败了, 不得不进入较普通的师范学校. 就是在这所学校, 伽罗华写出了他的第一篇关于连分数的数学论文, 显示了他的能力. 他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院的拒绝. 更遭的是, 两篇论文手稿还莫名其妙地被丢失了. 1. 群的概念 1829年7月, 他在巴黎高等工科大学的入学考试中再次失败.怀着沮丧之情, 伽罗华于1830年初又向科学院提交了另一篇论文, 这次是为竞争一项数学大奖. 科学院秘书傅立叶(Fourier)将其手稿 拿回家去审 读, 不料在写出评审报告前去世了, 此文再也没有找到. 1. 群的概念 三失手稿, 加之考巴黎高等工科大学两度失败, 伽罗华遂对科学界产生排斥情绪, 变成了学生激进分子, 被学校开除. 担任私人辅导教师谋生, 但他的数学研 究工作依然相当活跃. 在这一时期写出了最著名的论文“关于方程可根式求解的条件”, 并于1831年1月送交科学院. 到3月, 科学院方面仍杳无音讯, 于是他写信给院长打听他的文章的下落, 结果又如石沉大海. 1. 群的概念 他放弃了一切希望, 参加了国民卫队. 在那里和他在数学界一样运气不佳. 他刚加入不久, 卫队即遭控告阴谋造反而被解散. 在1831年5月10日进行的一次抗议聚宴上, 伽罗 华手中举着出鞘的刀提议为国王干杯, 这一手 势被同伙们解释成是要国王的命；第2天他就 被捕了. 后来被判无罪, 并于6月15日获释. 1. 群的概念 7月4日, 他终于打听到他给科学院的那篇论文的命运: 因“无法理解”而遭拒绝. 审稿人是著名的数学家泊松(Poisson). 7月14日他又遭逮捕并被判了六个月监禁, 因为他在公共场所身着已被解散的国民卫队的制服. 在获释不久, 他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情. 这导致了他的早亡. 这次恋爱事件不知何故引出了一场决斗. 1. 群的概念 1832年5月29日, 决斗的前夜, 伽罗华写了封很长的信给他的朋友舍瓦利耶(A.Chevalier), 其中大致描述了他的数学理论, 从而给数学界留下了唯一一份它将蒙受何等损失的提要. 在第二天的决斗中(离25步远用手枪射击), 伽罗华的胃部中弹, 24小时后去世. 享年不足21岁. 伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换)群, 他成了群论的创始人. 1. 群的概念 群的定义 1. 群的概念 由于结合律成立，(a·b)·c=a·(b·c)可记做a·b·c. 1. 群的概念 前两例群元素的个数