组合数学——程业宏.ppt

《组合数学》 程业宏 cyh@hubtvu.edu.cn 第三章 容斥原理和鸽巢原理 §3.1 容斥原理引论 例 [1，20]中2或3的倍数的个数 [解] 2的倍数是：2，4，6，8，10， 12，14，16，18，20。 10个 3的倍数是：3，6，9，12，15， 18。 6个 但答案不是10+6=16 个，因为6， 12，18在两类中重复计数，应减 去。故答案是：16-3=13 容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 [DeMorgan定理] 论域U，补集 　定理　设￠(n,k)是［1,n］的所有k- 子集的集合, 则 |∪Ai | = ∑ (－1)k-1 ∑ | ∩ Ai | 证　对n用归纳法。n=2时，等式成立。 假设对n - 1，等式成立。对于n有 §3.6　一般公式 例　n 对夫妻围坐问题 设 n 对夫妻围圈而坐，男女相间，每个男 人都不和他的妻子相邻，有多少种可能的 方案？ 解　不妨设 n 个女人先围成一圈，方案数 为( n－1 )! 。对任一这样的给定方案，顺 时针给每个女人以编号1 , 2 , ··· , n。设第i 号与第 i + 1号女人之间的位置为第 i 号位 置，1≤ i ≤n－1。第 n 号女人与第1 号之 §3.6　一般公式 间的位置为第 n 号位置。设第 i 号女人的丈 夫的编号也为第 i 号，1≤ i ≤ n。让 n 个男 人坐到上述编号的 n 个位置上。设 ai是坐在 第 i 号位置上的男人，则 ai ≠ i ，i + 1，１≤ i ≤n－1；an≠n，1。 这样的限制也即要求在下面3行n列的排列中 １　２　３　 ···　 ···　n－１　n ２　３　４　 ···　 ···　n　　　1 a1　 a2 a3 ··· ··· an－1 an §3.6　一般公式 每列中都无相同元素。满足这样的限制的排 列 a1a2 ···an称为二重错排。 设二重错排的个数为Un，原问题所求的方案 数就是Un ( n－1)！。 设Ai为 ai = I 或 I + 1 (1≤ I ≤n－1 )，an = n 或1的排列 a1 a2 ··· an的集合。则 ｜Ai｜= 2 (n－1)! ，关键是计算∑　 |∩Ai|　 I ∈￠( n , k) i∈I §3.6　一般公式 也就是从( 1 , 2 ) ( 2 , 3 ) ··· ( n－１, n ) ( n , 1) 这n对数的k 对中各取一数，且互不相同的 取法的计数。这相当于从1 , 2 , 2 , 3 ,3 ,4, ···, n－1, n－1, n , n , 1中取 k 个互不相邻数的组 合的计数，但首尾的１不能同时取。回想无 重复不相邻组合的计数： C’( n , r ) = C ( n－r + 1 , r ) ,这里所求的是 ( )－( )= ( ) 2n－k+1 k 2n－4－( k－2)+1 k－2 2n－k k 2n 2n－k §3.6　一般公式 ∴ Un =∑(－1)k ( )(n－k)! = ｜∩ Ai｜ 2n 2n－k 2n－k k i ∈[ 1 , n ] §３.11　反演 基本想法：{an} 易算，{bn}难算，{an}可用 ｛bn｝表示，利用反演，将{bn}用{an}表示． １．二项式反演 引理 §３.11　反演 证　 §３.11　反演 定理 证 §３.11　反演 推论 证　在定理中bk处用(－1)k bk代入，即可． 例　n! = ∑ ( ) Dn－k，Dn=bn， 令n－k = l ，则 n! = ∑ ( ) Dl Dn = ∑ (－1)n-k ( )k! = n! ∑ (－1)n-k = n ∑ n k n k n k 1 (n－k)! k=0 k=0 k=0 n n n (－1)k k! §３.11　反演 ２．　Mǒbíus反演 定义　设 n ∈Z+ 1，若 n = 1; μ( n ) = 0，若n = p1α1 p2α2 ··· pkαk