函数y=ax的图形交点个数的探索.pdf

函數 y = ax 與 y = log x 的圖形 a 交點個數的探索 李政豐 · 顏貽隆 · 蔡敏娟 · 陳明君 −e 1 1 摘要: 我們首先證 明當 a ∈ (0, e ), a e loga e 。 接著我們證 明: 若指數函數 y = ax 與對數 函數 y = log x 交點的個數為 n , 則 n = 3 當 a ∈ (0, e−e), a a a na = 1 當 a = e−e , na = 1 當 a ∈ (e−e , 1), na = 2 當 a ∈ (1, e1/e), na = 1 當 a = e1/e , na = 0 當 a e1/e。 一. 前言 作者參與花蓮師院數學教育系袁媛老師執行的一個九十一年度國科會計畫 「數學寫作」。 在 命題當中, 發現高中數學教科書第二冊, 有一個習題 『 y = ax 與 y = log x 的圖形有沒有交 a 點? 』。 因為指數、 對數的圖形, 由其底數 a 與指數 (或真數) x 兩個變數來決定, 因此我們以 審慎的態度來討論它。 指數與對數函數的圖形在底數 a 哪些範圍內, 會有交點? 有幾個交點? 是我們觀察的重點。 目前高中數學課本的圖示是: 當 0 a 1, y = ax 與 y = log x 的圖形有一個交點, a x 如圖 (3) 所示, 沒有人懷疑它的正確性。 我們用 Excel 做一個小軟體以呈現兩函數 y = a , y = loga x 的交點 (如圖 (1)∼(3)), 每個 Excel 圖形中, 第一、 二兩行是指數函數的描點坐 標, 第三、 四行是對數函數的描點坐標。 由於兩個函數以直線 y = x 成對稱, 故描點的 x、 y 坐 標恰好顛倒。 由圖上顯示, a ≈ 1.44 時有一個交點、 a ≈ 1.4 時有兩個交點、 a ≈ 0.52 時有一 個交點, 我們發現大約 a ≤ 1.44 時, y = x、 y = ax 與 y = log x 的圖形開始有交點, 我們 a 思考如何求得 a ≈ 1.44 這個真值? 交點坐標為何? x 我們也用 GSP 做了 y = a , y = log x 的交點圖, GSP 直角坐標的單位長是可以 自 a x 由調整的, 要同學觀察交點的個數, 結果有學生很驚訝的發現當 0 a 0.066 時, y = a , y = log x 有三個交點, 如圖 (4) 所示, 當時我們擔心是否 GSP 的計算有瑕疵, 我們再用 a 17 18 數學傳播 28 卷 4 期 民 93 年 12 月 Maple 畫圖、 解方程式的根, 發現確實有三交點, 於是大家都在思考要如何求得 a ≈ 0.066 的 真值? 當 a ≈ 0.066 時, 交點坐標為何? 為什麼會有三交點? 我們先針對 a ≈ 1.44、 a ≈ 0.066 這兩個數的真值如何求得