函数的图形.PPT

第一章 函數與極限 課程目標 函數 函數的圖形 函數的極限 連續函數 在無窮大處的極限 無窮極限 經濟學上的函數 函數的概念 探討自然現象與社會現象等各種問題的過程中，通常需先將實際的問題轉換數學模式，再以數學方法來求其解。而在上述解題的「轉換」過程中，函數 (function)扮演著主要的角色。 函數可用來描述問題中各變量間的關係。產品的銷售量與價格、計程車的車資與里程、信件的重量與郵資、圓的半徑與面積等皆是。描述變量與變量間的對應關係，就是函數的概念。 函數的範例 圓的半徑與面積: 當圓的半徑為 x 時，此圓的面積為 p x2 。式子 說明了兩個變量 x 與 y 之間的對應關係 此種對應可圖示如下： 函數的定義 定義1-1：設 A 與 B 為兩個非空的集合。如果 A 內的每一個元素，在 B 內都恰有一個對應的元素，那麼這種對應法則，就稱為從 A 映至 B 的一個函數。集合 A 稱為函數的定義域(domain)，B 稱為函數的對應域(codomain)。 函數的範例 以表格表示函數關係： 以式子表示函數關係： 式子不一定表示函數關係 式子 y2 = x2 + 5 並不定義一個函數。 求定義域與值域 試求下列各函數的定義域與值域： 多項式函數(Polynomial Function) 若 a0，a1，...，an 為實數，n 為非負整數，則下面這種形式的函數稱為多項式函數或簡稱為多項式： 多項式函數的定義域為 R。a0，a1，...，an 稱為此多項式函數的係數(coefficient) 。 若 an≠0 ，則稱 an 為 P(x) 的首項係數(leading coefficient)，且稱 P 為 n 次多項式 (polynomial of degree n)。 多項式函數 常數函數(constant function) f(x) = a，a≠0 ，為零次多項式。而常數函數 f(x) = 0 為零多項式函數，其次數沒有定義。 一次多項式亦稱為線性函數 (linear function)，其形式為 P(x) = ax + b，a≠0。 二次多項式亦稱為二次函數 (quadratic function)，其形式為 P(x) = ax2 + bx + c，a≠0。 有理函數、 冪函數 若 p(x) 與 q(x) 都是多項式函數，則函數 稱為有理函數 (rational function) 。有理函數的定義 為 。每一多項式函數都是有理函數。 若 k 是不為0的常數，r 為任一實數，則函數 f(x) = kxr 稱為冪函數 (power function)。冪函數的定義域依 r 的值而定。例如 絕對值函數 、 高斯函數 函數 稱為絕對值函數(absolute value function)，其定義域為 R。 對於任意實數 x，我們以[ x ]表示小於或等於 x 的最大整數。例如 [ 2.3 ] = 2，[-p] = - 4， [ 5 ] = 5 等。函數 f(x) = [ x ] 稱為高斯函數(Gauss function)或最大整數函數(greatest integer function)，其定義域為 R。 分段定義函數 求分段定義函數 (piecewise-defined function) 在 t = -2，t = 0 與 t = ? 的值。 函數的四則運算 定義1-2: 設 f 與 g 為二個函數，則其和 f + g，差 f - g ，積 f ．g 與商 f / g 分別定義如下: 函數的四則運算及其定義域 設 ，g(x) = 2x + 1。求 f + g，f - g， f ．g 與商 f / g 諸函數在 x = 2 之值。並求出各函數的定義域。 合成函數(Composition Function) 定義1-3:設 f 與 g 為兩個函數，則 f 與 g 的合成函數，以 f。g 表示，定義為 其定義域為 g 定義域中那些滿足「g(x) 在 f 的定義域」的所有元素 x 所成的集合。 求合成函數: 設 f(x) = (x – 1)2，g(x) = 3x+1。求下列各合成函數 (1) f。g (2) g。f (3) f。f (4) g。g 合成函數不一定有定義 設函數 ， 。試問合成函數 g。f 是否有定義？ 求合成函數的定義域 設 ，