数学概念的理解与教学67.ppt

数学概念的理解与教学;有效教学的关键;当前概念教学的问题;教概念的意义;概念教学的核心;概念教学的基本环节;;例1 代数的核心概念、思想方法;代数学的基本思想：有系统、有效力地运用数系的加、乘和指数运算的运算律，去解决各种各样的代数问题： 各种式（整式、分式、根式等）的运算——用运算律进行“等价变换”；作为数及其运算的推广。 方程——未知数、已知数之间的特定代数关系；解方程——由代数方程式确定其中的“未知数”的值；;解方程的基本原理：运算律对任何数都成立（通性），所以对“未知数”也成立、可用。有系统地用运算律化简所给的方程，从而确定其中的未知数——化未知为已知。 一元一次方程是基础，其它都用消元、降次转化为一元一次方程。 方程问题，从元的增加、次数的增加两个方向，依照由简到繁、由易到难顺次展开。;从代数式（符号代表数）、方程（符号代表未知数）到函数（符号代表变数）是一个飞跃，这是看问题角度的根本变化——从变化过程中考察规律，函数是研究变化规律的。 一次函数y=kx+b的变化规律由谁反映——不仅明确x，y的意义，而且明确k，b的意义——变化规律由k，b决定。 其他函数也类似。;例2 乘法公式的理解及教学设计;乘法公式蕴含的思想方法;教学过程设计;先行组织者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，a，b，c，d可以是数、式或别的什么。数学中，经常要通过考察特殊情况来获得对问题的进一步认识，例如在两条直线的位置关系中，我们特别研究了平行、垂直两种特殊的位置关系，得到了一些有用的结论。类似的，在多项式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。;2．公式的探究 问题2 (x+b)(x+d)可以利用公式直接写出结果。它是(a+b)(c+d)在a=c=x时的特例。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你认为还有哪些特殊情形？你能得到什么？ 设计意图：通过“先行组织者”，渗透从一般到特殊，考察特例，深入认识数学对象的方法；在让学生自主活动之前，先指出已有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个类比对象，明确思考方向。;问题3 请你用自己的语言表述平方差公式、完全平方公式。 设计意图：帮助学生理解公式。 3．例题 本环节主要目的是通过变式（字母a，b取数、式等各种变形），让学生体会公式在“形式化运算”中的作用。另外，通过适当反例，纠正学生可能的疏忽。最终要让学生明确：第一，具备形式(a+b)(a－b)或(a±b)2，就可以用公式；第二，要注意哪个代表a，哪个代表b。;4．公式的多元联系表示 问题4 如果a，b表示线段的长，则a2，b2分别表示正方形的面积。你能根据公式的形式，自己构造一个图形表示上述乘法公式吗？ 设计意图：通过构造几何模型表示公式，以开拓学生的思路。通过数形结合、图形直观，以加深理解、增强记忆。 ;5．小结 （1）请你总结一下本节课讨论问题的基本过程。 设计意图：引导学生总结“基本套路”，即“多项式乘法（一般）——乘法公式（特殊）——公式特征分析——与相关知识的联系”。 （2）为什么要讨论“特殊情形”？是如何得到的？ 设计意图：体会“如何提出问题”。;;例3 函数概念的理解和教学;（2）与平面几何知识的叠加 ;(3)将知识点拼凑、叠加，成为一种数学游戏 ——据称，这是近几年中考常见的压轴题。有评论说：“这样的题目的特点是通过采用宽入口、低起点、层层递进、逐步提高知识的综合程度，利用点和线的图形运动，借助函数知识来研究图形在运动变化过程中的数量关系，同时渗透多种数学思想方法的方式设计题目的问题，为题目的区分度奠定了较好的基础。” 完全离开了函数的背景，割裂了函数与客观世界的天然联系。 人为制造，矫揉造作！;关于函数概念的理解;函数概念的本质;题目的比较;函数味道很浓，“变量”、“一个量随另一个量的变化而变化”以及变化过程中“确定的关系”或“变化规律”等，都得到充分体现。一定要理解了概念才能回答，如必须真正理解斜率k的实际含义才能回答“是什么原因导致了他们所画的图像的不同？” 两种出题方法的教育功能也是不同的——后一种方法更有助于学生理解函数概念的本质；能让学生感受数学的作用；对学生能力的培养更全面。;函数概念的发展简史;莱布尼兹用“函数”表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等。1718年，贝努利强调函数要用公式表示。1755年，欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”。 当时很多数学家对不用公式表示函数很不习惯，甚至抱怀疑态度。;;函数概念的教学要点;例4 一次函数的例题教学;充分挖掘本题的教学价值;问题2 为什么可以用射线表示收费情况？ 问题3 为什么方式A的图像经过原点，而方式B的图像经过点（0，20）？ 问题4 如何找到上网a分时的两种方式各