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第三章 二自由度系统 无阻尼自由振动 不同广义坐标系下的质量、刚度、阻尼矩阵的关系 广义坐标 和 的变换关系为 由于势能和广义坐标选取无关： 从而： 不同广义坐标系下的质量、刚度、阻尼矩阵的关系 结论：从上例我们看到，系统的质量矩阵、刚度矩阵（当然也包括阻尼矩阵）的具体形式与所选取的广义坐标有关，合适的广义坐标能够解除方程的耦合，由于不同广义坐标之间存在着变换关系，所以，方程解耦的就归结为寻找一个合适的变换矩阵 ，使变换后的系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵同时成为对角矩阵。 无阻尼自由振动 要使方程解耦，就是要寻找合适的描述系统振动的广义坐标系，使得系统的阻尼和刚度矩阵在这个广义坐标下为对角矩阵，这等价于寻找一个变换矩阵[u]，使得刚度和阻尼矩阵都对角化。 几种特殊初始条件下的自由振动条件1 。把 、 向右移动相同的距离 ，然后同时无初速度的放开 和 受到的力大小、方向均相同，二者的质量又相同，因此它们的速度和位移也相同，在整个振动过程中， 不变形，等效为一无质量的刚性杆等效系统。 运动简图 解的形式 响应为： 条件2 ⑵ 把m1向左、m2向右均移动x0，然后同时无初速度的放开 这是一个反对称的初始条件，由于系统的对称性，在振动过程中，弹簧k1中点没有运动，就像一个固定点。在这种情况下，系统被等效为k1被分成相等的两半，每个刚度为2k1，这是两个系统彼此独立，并且完全一样的单自由度系统。（初始条件不同）。 运动简图 解的形式 条件3 当 m1和m2初始位移为0，初始速度不为零，相同 条件4 当 m1和m2初始位移为0，初始速度不为零，相反 固有频率和振型的求解 考虑方程 设系统固有振动时的解为： 特征方程 根据线性代数理论，要使 ， 有非零解的充分必要条件是： 称此式为微分方程的特征方程或频率方程 振型的求取 将特征根 分别代入，求得对应的特征向量，即振型 振型的性质 一般地，令 固有频率和它所对应的振型完全由质量和刚度矩阵决定，与外界激励无关，是系统固有的特性。 固有频率和振型的求解 运动微分方程 设系统固有振动时的解为： 求第一阶振型 将 带入 取 求第二阶振型 振型矩阵 运动微分方程 设系统固有振动时的解为： 第一阶振型的求取 将特征根 代入 求第二阶振型 拍振 自学 将 代入 取 例3.4 耦合摆的自由振动 系统的动能为 系统的势能为 将上式代入方程式： 固有频率和振型的求解 以 ， 为未知量的线性齐次代数方程组 频率方程 * * 例 例3.3如图所示弹簧质量系统 对称系统 该二自由度无阻尼系统在特殊初始条件1、3下的自由振动是简谐振动，其特点：两个自由度以相同频率 振动，同时达到极值，同时为零，相位差为0；两个自由度的坐标之比是常数。 该二自由度无阻尼系统在特殊初始条件2、4下的自由振动是简谐振动，其特点：两个自由度以相同频率 振动，同时达到极值，同时为零，相位差为π；两个自由度的坐标之比是常数。 结论 任意初始条件下的自由振动 分解为如下四种初始条件之和： 根据叠加原理，任意初始条件下的自由振动响应为 合成为 二自由度无阻尼系统在特殊初始条件下的自由振动是简谐振动，其特点：两个自由度以相同频率振动，相位差为0或π；两个自由度的坐标之比是与系统物理参数有关而与时间无关的常数。 重要定义： 固有振动：多自由度振系在特定初始条件下以单一频率进行 的自由振动 固有频率：固有振动的频率 固有振型：在每种固有振动中，系统各个坐标之间有确定的 比例关系，这种特定的振动形态称为固有振型 振系在任意初始条件下的自由振动是两种固有振动的叠加。 结论 将上式代入方程式： 固有频率和振型的求解 以 ， 为未知量的线性齐次代数方程组 固有频率的求取 将 展开可以得到 的二次代数方程，可以解出 的两个根 由于[M]是正定矩阵，[K]是半正定矩阵，因此 取正平方根 并设 例3.3 如图所示弹簧质量系统 将上式代入方程式： 固有频率和振型的求解 以 ， 为未知量的线性齐次代数方程组 频