3.3.2圆周角和圆心角的关系(北师大版九年级下).ppt

基础梳理·预习点睛 精题例解·举一反三 知能提升作业 课时训练·基础达标 基础梳理·预习点睛 精题例解·举一反三 知能提升作业 课时训练·基础达标 基础梳理·预习点睛 精题例解·举一反三 知能提升作业 课时训练·基础达标 基础梳理·预习点睛 精题例解·举一反三 知能提升作业 课时训练·基础达标 掌握圆周角定理的推论，能应用其解决实际问题. 相等 直径 直角 根据同弧所对的圆心角与圆周角的关系，探索出同弧或等弧所对圆周角之间的相等关系. 【例1】(6分)如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=AC，AD交 BC于E点，AE=2，ED=4，求AB的长. 【解题导引】作辅助线，先由同弧所对的圆 周角相等得出两组角相等，判定出相似三角 形，再根据相似三角形的性质得出结论. 同弧或等弧所对的圆周角之间的关系 【规范解答】连接BD,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C, 又∠C=∠D,∴∠ABC=∠D,…………………………………2分 又∠BAE=∠DAB, ∴△ABE∽△ADB,……………………4分 ∴ ∴AB2=AD·AE, 又∵AD=AE+ED=6, ∴ ………………………………………6分 不能准确的根据同弧所对的圆周角相等来判定三角形相似是此类问题常见的错误. 根据“同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，由弧找角，由角找弧，是证明弧相等或角相等常用的思维方法，构造同弧或等弧所对的圆周角是常作的辅助线. 1.下列各图中，∠1=∠2的是( ) 【解析】选D.同弧所对的圆周角相等. 2.(2011·杭州中考)如图，点A，B，C，D都在⊙O上， 的度 数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD+∠CAO=______°. 【解析】因为 的度数等于84°，所以 ∠COD=84°.所以∠OCD=48°.因为∠CAO= ∠OCA，∠ABD=∠ACD.所以∠ABD+∠CAO= ∠ACD+∠OCA=∠OCD=48°. 答案：48 3.如图所示，⊙O的两弦AB、CD交于点P，连接AC、BD，得 S△ACP∶S△DBP =16∶9，则AC∶BD=_________. 【解析】由图可知∠C=∠B，∠A=∠D， ∴△ACP∽△DBP, ∴ ∴AC∶BD=4∶3. 答案：4∶3 在圆中的证明或计算需要使用角的相等时，一般的方法是利用圆周角定理的推论，应用的关键是灵活的对角进行转换. 直径和90°的圆周角之间的对应关系 【例2】如图，AB是⊙O的直径，C是 的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F. (1)求证：CF=BF； (2)若CD=6，AC=8，则⊙O的半径为________， CE的长是_________. 【思路点拨】由直径所对的圆周角是直角，同角的余角相 等，等弧所对的圆周角相等证明角的相等进而得到线段的相 等.求半径及面积时应用勾股定理及等积法. 【自主解答】(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°. 又∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°. ∴∠BCE=90°－∠CBE=∠A， 又∵C是弧BD的中点， ∴∠CBF=∠A∴∠BCE=∠CBF,∴CF=BF. (2)由(1)知：BC=CD=6，∴ ∴⊙O的半径为5； ∵ 故CE的长是 1.在圆中，若有直径时，构造直径所对的圆周角得直角是常用的添加辅助线的方法；条件中有90°的圆周角时，一般用该圆周角所对的弦是直径. 2.在解题时注意勾股定理、垂径定理的应用. 4.(2011·温州中考)如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连接CA，CB，DC，DB.已知∠D=30°，BC=3，则AB的长是_________. 【解析】∵AB是⊙O的直径， 所以∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)， 又∠A=∠D=30°，∴AB=2BC=6(直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半). 答案：6 5.(2011·綦江中考)如图，已知AB为⊙O的直径，∠CAB=30°，则∠D=________. 【解析】因为AB为⊙O的直径，所以 ∠ACB=90°，而∠CAB=30°，所以 ∠B=60°，所以∠D=∠B=60°. 答案：60° 解题的关键是把握同弧或等弧所对的圆周角、圆心角之间的倍数关系，有直径时，构造直径所对的圆周角是直角；垂径定理构造了等弧，为角的相等提供了更多的转换