跑得快淋雨多还是跑得慢淋雨多？.doc

问题：夏天到了，暴热时候天气无常，刚刚还艳阳高照，瞬间便暴雨滂沱，出门逛街的你又忘记带伞，从一栋百货到另外一栋商城楼只能跑过去，问是跑得快淋雨多还是跑得慢淋雨多？ ? 因为我不是学物理学专业出身的，解题时仅仅凭借着高中物理知识和一些思想方法来求解这个问题。 ? 求解过程中为了便于数学模型的建立，我做了两个简化： ? 1、因此对于这种三维多个物体运动的题目，我试图用“降维”的方式将问题简化。通过降维，把人和空间取y轴和z轴建立的平面，即人、雨、地面在x方向上长度为0. ? ? 2、雨水是一滴滴的，是不连续的。为了简化问题，这里将“滂沱大雨”的雨水看成是连续的水流，方向竖直向下，流量恒定。 ? ? 根据伽利略速度相加原理：v_(甲对丙)=v_(甲对乙)+v_(乙对丙)(即绝对速度=相对速度+牵连速度) ? 可整理出：v_(雨对人)=v_(雨对地)-v_(人对地) ? 速度矢量合成如下： ? ? 现在可以将人看作静止，把人形抽象成长方形： ? ? 剩下的问题简化成为了雨水连续作用在长方形平行于雨水方向的投影s上。这就是某个极小时间段内，人受到的雨量Δm： ? ? 总的淋湿的雨量是Δm在时间上的累积，即m=Δm*t ? 已知t=路程L除以人奔跑的速度v(人对地)，即m=Δm*t=Δm*L/v(人对地) ? 因为雨水在竖直方向上流量恒定，且Δm不受v(雨对人)影响（因为水平方向上没有雨水），因此Δm只正比于投影面积S。 ? 而此时的投影面积已经简化为平面ZoY上的线段l长度（上图中的粗线）。 ? 现在得到了速度三角形和空间长度三角形相似： ? ? 即 b:a = v(人对地):v(雨对地) = tg α ? 故 ?l = b / sin?α =b / sin(arctg(v(人对地):v(雨对地))) ? b为人身高，不变。 ? 因此 Δm??l ∝?1 / sin(arctg(v(人对地):v(雨对地))) ? 又因为 t? 1/v(人对地) 且?m=Δm*t ? 所以?m??1 / (sin(arctg(v(人对地):v(雨对地)))*v(人对地)) ? 即sin(arctg(v(人对地):v(雨对地)))*v(人对地)越大，m值越小，淋到的雨越少。 ? 接下来分析一下这个函数sin(arctg(v(人对地):v(雨对地)))*v(人对地)。v(雨对地)是定值。百度告诉我，雨滴的收尾速度，与雨滴的大小有较强的相关性。一般而言，毛毛雨（直径0.5mm）的收尾速度为2米/秒，而暴雨（雨滴最大直径5.5mm左右）的雨滴最大收尾速度为8~9米/秒。设v(人对地)为x，函数值为y。由于没有足够的数学知识，我仅仅将2~9的速度值选取几个代入。取雨速等于5，得到其中一个具体的函数y=sin(arctg0.2x)*x 。 ? 利用工具绘制函数图象，得到： 可以知道函数在R+区间单调递增。因此v(人对地)越大，m值越小，淋到的雨越少。? 结论：跑的速度越快，淋到的雨越少。 ?其他需要说明的问题： ? 1、按照以上推理，会得到与现实经验相反的结论，雨速越快，身上淋到的雨越少。我觉得这应该是另外一个问题，即雨速与雨滴大小的关系。因此不在本题讨论范围之内。 ? 2、我记得以前好像看到过一个国外的纪录片，说是有人做了相关实验：两个其他条件相同的人，一个从大雨中走过，一个则奔跑。最后两人承重，发现奔跑的人身上的雨水比较多。我觉得这个结果的原因在于，下大雨时候地上有很多雨水，奔跑过程中必然将地上的雨水带上了裤腿，因此身上的雨水比较多。不知道我的推理有没有失误之处，欢迎大家指正。