3.3.4生活中的优化问题举例.ppt

* * 一、如何判断函数函数的单调性？ f(x)为增函数 f(x)为减函数 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导， 二、如何求函数的极值与最值？ 求函数极值的一般步骤 （1）确定定义域 （2）求导数f’(x) （3）求f’(x)=0的根 （4）列表 （5）判断 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值； (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b）比较,从而确定函数的最值。 * * 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题. * * 例1：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 图3.4-1 分析：已知版心的面积，你能否设出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？ * * 因此, =16是函数 的极小值点，也是最小值点.所以当版心高为16dm，宽为时8dm，能使四周空白面积最小。 = 令 于是宽为 = =8 解:设版心的高为 m,则版心的宽为 m，此时四周空白面积为 * * 规格（L） 2 1.25 0.6 价格（元） 5.1 4.5 2.5 例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？ * * 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ r (0，2) 2 (2，6] f (r) 0 f (r) - + 减函数↘ 增函数↗ -1.07p 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是 所以，当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0, 当半径为6cm时，利润最大。 * * * * 解：存储量=磁道数×每磁道的比特数 设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储人行信息，所以 磁道最多可达 又由于每条磁道上的比特数相 同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即 每条磁道上的比特数可达到 所以，磁道总存储量 （1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大. * * (2)为求 的最大值，计算 令 解得 因此，当 时，磁道具有最大的存储量，最大 存储量为 * * 由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是： 优化问题 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。 * * 1:在边长为60cm的正 方形铁皮 的四角切去相等的正方形,再把 它的边沿虚线折起(如图),做成一 个无盖的方底箱子,箱底边长为 多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少? 解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0x60). 令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 16000. 由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值. 答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积16000cm3. * * 2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径 应怎样选取,才能使所用的材料最省? 解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2. 由V=πr2h,得 ,则 令 ,解得 ,从而 ,即h=2r. 由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值. 答:当罐的高与底直径相等时,所用的材