全等三角形培训材料.doc

特训班上课材料 1.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， 求证：BE＋CF＞EF 2.截长补短作辅助线的方法 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法. 例：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点， 求证：AB－AC＞PB－PC 3.有二倍角时常用的辅助线 ⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角 例：已知，如图，在△ABC中，∠1 = ∠2，∠ABC = 2∠C， 求证：AB＋BD = AC ⑵平分二倍角 例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC 求证：∠ABC = ∠ACB ⑶加倍小角 例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC 求证：∠ABC = ∠ACB 4. 如图，在中，是∠ABC的平分线，，垂足为。求证：。 5. 如图，是的边上的点，且，，是的中线。求证：。 6. 如图，在中，，，为上任意一点。求证：。 7.如图、、中，点E、D分别是正ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点．（1）求图中，APD的度数；（2）图中，APD的度数为 ?，图中，APD的度数为 ；（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．在ABC中，ACB=2∠B，如图，当C=90°，AD为BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．（1）如图，当C≠90°，AD为BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图，当AD为ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．（1）如图若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1），求点B的坐标．（2）如图，直角边BC在两坐标轴上滑动，若y轴恰好平分ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AEy轴于E，请猜想BD与AE有怎样的数量关系，并证明你的猜想．（3）如图，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AFy轴于F，在滑动的过程中，两个结论 为定值；为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加并求出定值，不必证明． ． 3.（2006?北京）如图，OP是AOB的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．4．（2009?沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图方式摆放，其中ACB=∠DEB=90°，A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．2008盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． 解答下列问题： （1）如果AB=AC，∠BAC=90o． ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，点D在线段BC上运动． 试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法） 2、（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．