详解：2013年上海市新知杯试题.doc

详解：2013年上海市初中数学竞赛(新知杯)试题 （考试时间：2013年12月8日9：00-11：00 满分150分） 大罕(王方汉) 一、填空题：（每题10分） 1.已知,，则= . 分析：结果式子是对称式，因此需要计算两数之和与两数之积． +==，=， ∴== ==. 2.已知直线∥∥∥，直线∥∥∥，，，则 . 分析：用割补法，把EHGF四条“边”上的三角形移到ABCD四个“角”上，它们的面积相等． ∵ =，=， =，=， ∴2+=120， ∴60. 3.已知∠A＝90 °，AB=6，AC=8，E,F在AB上，且AE=2，BF=3，过E作AC的平行线交BC于D，FD的延长线交AC的延长线于G，则GF= . 分析：GF在直角三角形AFG中，AF的长已知，关键是求AG．图中有平行线，所以要用到平行线截得成比例线段定理． 解：在△ABC中，∵ ∥，∴=，而AC=8，∴, 在△AFG中，∵ ∥，∴=，而，∴. 在Rt△AFG中， =. 4. 已知凸五边形的边长为,,,,，为二次三项式，当或者 x=+++时，，当时，，当时，，则= . 分析：∵ 为二次三项式，∴二次函数的图像是一条抛物线， ∵,,,,是（凸）五边形的边长，∴不妨把这条抛物线画成开口向上的，如图． 不妨设+++，依题有：+++（=5是没有作用的），这说明抛物线的对称轴是直线：, 又∵， ∴在x轴上，点与点是关于对称轴对称的两点， ∴，即， ∴=0． 5. 已知一个三位数是35的倍数，且各个数位上的数字之和为15，则这个三位数是 . 分析：数字之和为15，这说明该三位数一定是3的倍数，又因为该数是35的位数，所以它一定是105的倍数，经检验735是唯一解． 6. 已知关于x的一元二次方程对于任意实数a都有实数根，则m的取值范围是 . 分析:原方程对于任意实数a都有实数根即对于任意实数a都成立，注意到要求的是m的取值范围，而右边有最小值0，故只须 ，∴，∴． 7. 已知四边形ABCD的面积为2013，E为AD上一点，△BCE,△ABE,△CDE的重心分别是G1,G2,G3，那么△G1G2G3的面积为 分析：三角形三条中线的交点称为重心．重心的基本性质是：重心到一边中点的连线长等于所在中线的．据此， 过点G1作BC的平行线，交BA于M，∵G1是△BCE的重心，∴BM=BA， 过点G2作BC的平行线，交BA于N，∵G2是△ABE的重心，∴NA=BA， 过点G2作BA的平行线，交AD于P，∵G2是△ABE的重心，∴AP=AE， 过点G3作BA的平行线，交AD于Q，∵G2是△CDE的重心，∴DQ=DE， ∴，而△G1G2G3的G2G3边上的高=, ∴△G1G2G3的面积==四边形ABCD的面积=. 8.直角三角形斜边AB上的高CD=3，延长DC到P，使得CP=2，过B作BF⊥AP，交CD于E，交AP于F，则DE= . 分析：本题涉及到直角三角形斜边上的高，就要考虑射影定理，即，直角边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项； 本题涉及到两个角的两边分别垂直，就要考虑到这两个角相等； 既然有角相等，就要考虑相似三角形． ∵∠DBE=∠P，∠DBE =∠PAD，∴△ADP∽△EDB， ∴， ∴． 二、解答题：（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分） 9．已知∠BAC=90°，四边形ADEF是正方形且边长为1，求++的最大值． 分析：本题需从结论入手，如果按常规通分，那是死路一条．于是考虑用特殊变形．注意到正方形边长为1，即DE=EF=1，代入到前两项的分子中，就成为比例式．不妨一试： ++=++=++=1+， 因此，欲求++的最大值只需求BC的最小值． 而= 这里需要用基本不等式和()吗？ 试一试： (等号当且仅当取得)， (等号当且仅当取得)， 等号取得的条件是一致的！只需要证实是常数即可． 考查含有和的两个三角形，即△BDE和△EFC，它们是相似的！ 于是，∵△BDE∽△EFC，∴， ∴， ∴+=8， ∴ ， 当且仅当时等号成立，此时++，++的最大值是． 10.已知是不为0的实数,求解方程组: 分析：可考虑两式相减，得：，∴似乎越走越远． 可考虑两式直接相乘，仍然得不到有益结果．将两式化成如下形式： 再将两式相乘，得，注意到， 立即可得：，代入（1）得：，∴这是很漂亮的结果！ 乘胜前进： 由可得，或． 11．已知，,,,…,为整数且+++…+=…=2013，求的最小值． 分析：既然且,,,…,为整数，那么我们就从试起，没有发现适合的．当时，取==-1,==1,， 则有 ++++