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研究生数理统计期末复习重点
1统计量与抽样分布
1.1基本概念:
1.2统计量:
1.3抽样分布:分布:
T分布: 当n2时,ET=0
F分布:
补充:
Z=X+Y的概率密度 f(x,y)是X和Y的联合概率密度
的概率密度
的概率密度
函数:
B函数:
1.4次序统计量及其分布:
X(k)的分布密度:
X(1)的分布密度:
X(n)的分布密度:
2参数估计
2.1点估计与优良性:
的均方误差:
若是无偏估计,则
对于的任意一个无偏估计量,有,则是的最小方差无偏估计,
记MVUE
相合估计(一致估计):
2.2点估计量的求法:
矩估计法:
求出总体的k阶原点矩:
解方程组 (k=1,2,...,m),得即为所求
最大似然估计法:
写出似然函数,求出lnL及似然方程 i=1,2,...,m
解似然方程得到,即最大似然估计 i=1,2,...,m
补充:
似然方程无解时,求出的定义域中使得似然函数最大的值,即为最大似然估计
2.3MVUE和有效估计:
T是的充分完备统计量,是的一个无偏估计为的惟一的MVUE
最小方差无偏估计的求解步骤:
求出参数的充分完备统计量T
求出,则是的一个无偏估计
或求出一个无偏估计,然后改写成用T表示的函数
综合,是的MVUE
或者:求出的矩估计或ML估计,再求效率,为1则必为MVUE
T是的一个无偏估计,则满足信息不等式,其中或,为样本的联合分布。
最小方差无偏估计达到罗-克拉姆下界有效估计量效率为1
无偏估计的效率:
是的最大似然估计,且是的充分统计量是的有效估计
2.4区间估计:
一个总体的情况:
已知,求的置信区间:
未知,求的置信区间:
已知,求的置信区间:
未知,求的置信区间:
两个总体的情况:,
均已知时,求的区间估计:
未知时,求的区间估计:
未知时,求:
非正态总体的区间估计:
当时, ,故用Sn代替Sn-1
3统计决策与贝叶斯估计
3.1统计决策的基本概念:三要素、统计决策函数及风险函数
三要素:样本空间和分布族、行动空间(判决空间)、损失函数
统计决策函数d(X):本质上是一个统计量,可用来估计未知参数
风险函数:是关于的函数
3.2贝叶斯估计:
求样本X=(X1,X2,...,Xn)的分布:
样本X与的联合概率分布:
求关于x的边缘密度
的后验密度为:
取时
的贝叶斯估计为:
贝叶斯风险为:
取时,贝叶斯估计为:
补充:
的贝叶斯估计:取损失函数,则贝叶斯估计为
3.3minimax估计
对决策空间中的决策函数d1(X),d2(X),...,分别求出在上的最大风险值 在所有的最大风险值中选取相对最小值,此值对应的决策函数就是最小最大决策函数。
4假设检验
4.1基本概念:
零假设通常受到保护,而备选假设是当零假设被拒绝后才能被接受。
检验规则:构造一个统计量T(X1,X2,...,X3),当H0服从某一分布,当H0不成立时,T的偏大偏小特征。据此,构造拒绝域W
第一类错误(弃真错误):
第二类错误(存伪错误):
势函数:
当时,为犯第一类错误的概率
当时,为犯第二类错误的概率
4.2正态总体均值与方差的假设检验:
一个总体的情况:
已知,检验:
未知,检验:
已知,检验:
未知,检验:
两个总体的情况:,
未知时,检验:
未知时,检验:
单边检验:举例说明,已知,检验:
构造,给定显著性水平,有。当H0成立时,因此。故拒绝域为
4.3非参数假设检验方法:
拟合优度检验:
其中Ni表示样本中取值为i的个数,r表示分布中未知参数的个数
科尔莫戈罗夫检验: 实际检验的是
斯米尔诺夫检验: 实际检验的是
4.4似然比检验
明确零假设和备选假设:
构造似然比:
拒绝域:
5方差分析
5.1单因素方差分析:
数学模型,(i=1,2,...,m;j=1,2,...,ni)
总离差平方和
组内离差平方和
组间离差平方和 当H0成立时,
构造统计量,当H0不成立时,有偏大特征
且
应用:
若原始数据比较大而且集中,可减去同一数值再解题
辅助量:
5.2两因素方差分析:
数学模型,(i=1,2,...,r;j=1,2,...,s)
总离差平方和
组内离差平方和
因素B引起的离差平方和 当H0成立时,
因素A引起的离差平方和 当H0成立时,
辅助量:
构造统计量:
6回归分析
6.1一元线性回归:
回归模型:i=1,2,...,n.
的估计: 分布:
的估计:
6.2多元线性回归:
回归模型: i=1,2,...,n.
参数估计:
7多元分析初步
7.1定义及性质:
其中为X的均值向量,为X的协方差矩阵
Y=CX+b,则
若,刚
7.2参数的估计与假设检验:
样本均值向量 样本离差阵
最大似然估计
最小方差无偏估计
2
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