§2 2.1 综合法学案.doc

§2　综合法与分析法 2.1　综合法 1.了解综合法的思考过程、特点.(重点) 2.会用综合法证明数学问题.(难点) [基础·初探] 教材整理　综合法 阅读教材P8～P9“练习”以上内容，完成下列问题. 1.综合法的定义 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法. 2.综合法证明的思维过程 用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为： →→→…→ 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是由因导果的顺推证法.(　　) (2)综合法证明的依据是三段论.(　　) (3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件.(　　) 【解析】　(1)正确.由综合法的定义可知该说法正确. (2)正确.综合法的逻辑依据是三段论. (3)正确.综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件. 【答案】　(1)√　(2)√　(3)√ [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 疑问2：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 疑问3：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [小组合作型] 用综合法证明三角问题 　在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求证：A的大小为60°； (2)若sin B＋sin C＝.证明：△ABC为等边三角形. 【精彩点拨】　(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A. (2)结合(1)中A的大小利用三角恒等变形证明A＝B＝C＝60°. 【自主解答】　(1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)·sin C， 得2a2＝(2b－c)·b＋(2c－b)c， 即bc＝b2＋c2－a2， 所以cos A＝＝， 所以A＝60°. (2)由A＋B＋C＝180°，得B＋C＝120°， 由sin B＋sin C＝，得sin B＋sin(120°－B)＝， sin B＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝， sin B＋cos B＝， 即sin(B＋30°)＝1. 因为0°B120°， 所以30°B＋30°150°， 所以B＋30°＝90°，即B＝60°， 所以A＝B＝C＝60°， 即△ABC为等边三角形. 证明三角等式的主要依据 1.三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式. 2.和、差、倍角的三角函数公式. 3.三角形中的三角函数及三角形内角和定理. 4.正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式. [再练一题] 1.求证：3－2cos2α＝. 【导学号 【证明】　原式右边＝＝1＋＝1＋2sin2α＝1＋2(1－cos2α) ＝3－2cos2α＝左边. 所以原式成立. 用综合法证明几何问题 　如图1-2-1，在四面体B-ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，E，F分别是AB，BD的中点.求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD. 图1-2-1 【精彩点拨】　(1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF∥平面ACD，只需在平面ACD内找出一条直线和直线EF平行即可； (2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC⊥平面BCD，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可. 【自主解答】　(1)因为E，F分别是AB，BD的中点，所以EF是△ABD的中位线，所以EF∥AD，又EF平面ACD，AD平面ACD，所以直线EF∥平面ACD. (2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD. 因为CB＝CD，F是BD的中点，所以CF⊥BD.又EF∩CF＝F，所以BD⊥平面EFC. 因为BD平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD. 本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用.在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言.这也是证明空间位置关系问题的一般模式. [再练一题] 2.如图1-2-2，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝a，AB