专题复习——求轨迹方程.doc

专题复习——求轨迹方程 一. 本周教学内容： 专题复习——求轨迹方程 （一）求轨迹方程的一般方法： 1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 （二）求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 【典型例题】 例1. 轨迹方程。 分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。 解：设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0） 则由M为线段AB中点，可得 即点B坐标可表为（2x－2a，2y） 例2. 点A的轨迹方程。 分析：先画出示意图，如图所示：根据已知条件：动椭圆过M（1，2）且以y轴为其准线，可见该椭圆位于y轴右侧，注意到点M在椭圆上，故联想到椭圆的几何性质：椭圆上任一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率。即可发现间接涉及动顶点A的等量关系。只需用A的坐标先表示出左焦点F的坐标，即可列出轨迹方程。 解： 又∵M在椭圆上， 例3. 过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。 分析1：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。 解法1：设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2 ∴PA⊥PB，从而kPA·kPB＝－1， 注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4） 中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0 综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。 分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性： 解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y）， ∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形 化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。 分析3：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。 解法3：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０） ∵M为AB的中点， 消去k，得x＋2y－5＝0。 另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。 例4. 已知定点