《精品》机器人位姿描述与齐次变换.doc

参考教材 ? 付京逊《机器人学》 ? 蔡自兴《机器人学》 机器人位置和姿态的描述 ? 机器人可以用一个开环关节链来建模 ? 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成 ? 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体 i  n o a ? 人们感兴趣的是操作机末端执行 器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 学问题 ? 机器人的运动学即是研究机器人 手臂末端执行器位置和姿态与关 节变量空间之间的关系 Where is my hand? Direct Kinematics HERE! How do I put my hand here? Inverse Kinematics: Choose these angles! 运动学正问题 运动学正问题 运动学逆问题 运动学逆问题 ? 丹纳维特（Denavit）和哈顿贝格（Hartenberg） 于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人 的运动学问题—D-H方法 ? 具有直观的几何意义 ? 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题 ? 其数学基础即是齐次变换 3.2.1 点的齐次坐标 ? 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。 k c j b i a v          z y x T w w z y x V             式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量， a= , b= , c= ，w为比例系数 w x w y w z 显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随 w值的不同而不同。在计算机图学中，w 作为通用比例因子，它可取任意正值，但 在机器人的运动分析中，总是取w=1 。 列矩阵 k j i V     5 4 3    可以表示为： V=[3 4 5 1] T 或 V=[6 8 10 2] T 或 V=[-12 -16 -20 -4] T ? V点在ΣO XYZ 坐标系中表 示是唯一的（x、y、z） ? 而在齐次坐标中表示可 以是多值的。不同的表 示方法代表的V点在空间 位置上不变。 x y z z z x V 图2-2 o ? [0, 0, 0, n] T —坐标原点矢量的齐次坐标，n 为任意非零比例系数 ? [1 0 0 0] T —指向无穷远处的OX轴 ? [0 1 0 0] T —指向无穷远处的OY轴 ? [0 0 1 0] T —指向无穷远处的OZ轴 2 z z y y x x b a b a b a b a     k b a b a j b a b a i b a b a b b b a a a k j i b a x y y x z x x z y z z y z y x z y x    ) ( ) ( ) (         ? 平面齐次坐标由行矩阵P=[a b c d ]来表示 ? 当点v=[x y z w] T 处于平面P内时，矩阵乘积PV=O，或记为   0                 dw cz by ax w z y x d c b a PV 如果定义一个常数m= ，则有： 2 2 2 c b a   m d m c w z m b w y m a w x     ) ( ) ( k m c j m b i m a k w z j w y i w x            = 可以把矢量 解释为某个平面的外法线，此 平面沿着法线方向与坐标原点的距离为。 ) ( k m c j m b i m a      m d  因此一个平行于x、y轴，且在z轴上的坐标为单位距离的 平面P可以表示为： 或 有：PV=   1 1 0 0   P   2 2 0 0   P         v 0 v 0 v 0 点在平面下方 点在平面上 点在平面上方 例如：点 V=[10 20 1 1] T 必定处于此平面内，而点 V=[0 0 2 1] T 处于平P 的上方点V=[0 0 0 1] T 处于P平面下方。因为：   0 1 1 20 10 10 10 0 0                 0 1 1 2 0 0 1 1 0 0       