傅里叶级数 周期函数的展开式.ppt

无穷级数 第七节 三、函数展开成傅里叶级数 例3. 例6.将函数 三、以2l为周期的函数的傅里叶展开 傅里叶 (1768 – 1830) 定理：设周期为2l 的周期函数f (x) 满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为 (在 f (x) 的连续点处) 证明 解 法国数学家. 他的著作《热的解析 理论》(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅 里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献, 他深信数学是解决实际问题 傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响. 播放 1.基本概念； 2.傅里叶系数； 3.狄利克雷充分 条件； 4.非周期函数的 傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义——整体逼近 四、小结 四、小结 1.基本概念； 2.傅里叶系数； 3.狄利克雷充分 条件； 4.非周期函数的 傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义——整体逼近 四、小结 1.基本概念； 2.傅里叶系数； 3.狄利克雷充分 条件； 4.非周期函数的 傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义——整体逼近 四、小结 1.基本概念； 2.傅里叶系数； 3.狄利克雷充分 条件； 4.非周期函数的 傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义——整体逼近 四、小结 1.基本概念； 2.傅里叶系数； 3.狄利克雷充分 条件； 4.非周期函数的 傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义——整体逼近 四、小结 1.基本概念； 2.傅里叶系数； 3.狄利克雷充分 条件； 4.非周期函数的 傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义——整体逼近 * 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第十一章 傅里叶级数 周期函数的展开式 周期函数反映客观世界中的周期性现象， 正弦函数是最简单的周期函数之一。 ( A为振幅, ?为角频率, φ为初相 ) 如心脏的跳动（心电图），波浪，单摆的振动。 一、三角级数 问题：给定一个周期函数，能否展开为简单的周期函数（如正弦函数）的和？ 三角级数 问题: 物理意义：把一个一般的周期运动分解为不同频率的简谐振动的叠加。 谐波分析 二、三角函数系的正交性 三角函数系： 利用三角函数系的正交性. 由公式 ② 确定的 ① ② 以 的傅里叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶级数 . 称为 的傅里叶系数 ; 问题: 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 矩形脉冲的波形 先求傅里叶系数 解：所给函数满足狄利克雷充分条件. （连续点） 注：泰勒级数是局部逼近，而傅里叶级数是全局逼近。 解：所给函数满足狄利克雷充分条件. 所求函数的傅氏展开式为 注意以上两个例子的结果，容易证明 上的表达式为 将 f (x) 展成傅里叶级数. 解: 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 它在 当 时, 级数收敛于 解： 将 f (x)延拓成以2?为周期的函数 F(x) , 由例2结果可得， 当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得 周期延拓 F (x) f (x)在[0, ?]上展成正弦级数 周期延拓 F (x) 奇延拓 偶延拓 f (x)在[0,?]上展成余弦级数 解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓, 分别展成正弦级 数与余弦级数 . 根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数: 级数的部分和 逼近 f (x) 的情况见右图. n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 再求余弦级数. 将 作偶周期延拓 , 由例2结果可得， 周期为 2l 函数 f (x) 伸缩 将 作傅氏展开并换元 f (x) 的傅氏展开式 周期为 2? 函数