同济线性代数第五版课后答案 图片版.doc

第五章 相似矩阵及二次型 1( 试用施密特法把下列向量组正交化( (1)( 解 根据施密特正交化方法( ( ( ( (2)( 解 根据施密特正交化方法( ( ( ( 2( 下列矩阵是不是正交阵: (1); 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵( (2)( 解 该方阵每一个行向量均是单位向量( 且两两正交( 故为正交阵( 3( 设x为n维列向量( xTx(1( 令H(E(2xxT( 证明H是对称的正交阵( 证明 因为 HT((E(2xxT)T(E(2(xxT)T(E(2(xxT)T (E(2(xT)TxT(E(2xxT( 所以H是对称矩阵( 因为 HTH(HH((E(2xxT)(E(2xxT) (E(2xxT(2xxT((2xxT)(2xxT) (E(4xxT(4x(xTx)xT (E(4xxT(4xxT (E( 所以H是正交矩阵( 4( 设A与B都是n阶正交阵( 证明AB也是正交阵( 证明 因为A( B是n阶正交阵( 故A(1(AT( B(1(BT( (AB)T(AB)(BTATAB(B(1A(1AB(E( 故AB也是正交阵( 5( 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); 解 ( 故A的特征值为(((1(三重)( 对于特征值(((1( 由 ( 得方程(A(E)x(0的基础解系p1((1( 1( (1)T( 向量p1就是对应于特征值(((1的特征值向量. (2); 解 ( 故A的特征值为(1(0( (2((1( (3(9( 对于特征值(1(0( 由 ( 得方程Ax(0的基础解系p1(((1( (1( 1)T( 向量p1是对应于特征值(1(0的特征值向量. 对于特征值(2((1, 由 ( 得方程(A(E)x(0的基础解系p2(((1( 1( 0)T( 向量p2就是对应于特征值(2((1的特征值向量( 对于特征值(3(9( 由 ( 得方程(A(9E)x(0的基础解系p3((1/2( 1/2( 1)T( 向量p3就是对应于特征值(3(9的特征值向量( (3). 解 ( 故A的特征值为(1((2((1( (3((4(1( 对于特征值(1((2((1( 由 ( 得方程(A(E)x(0的基础解系p1((1( 0( 0( (1)T( p2((0( 1( (1( 0)T( 向量p1和p2是对应于特征值(1((2((1的线性无关特征值向量( 对于特征值(3((4(1( 由 ( 得方程(A(E)x(0的基础解系p3((1( 0( 0( 1)T( p4((0( 1( 1( 0)T( 向量p3和p4是对应于特征值(3((4(1的线性无关特征值向量( 6( 设A为n阶矩阵( 证明AT与A的特征值相同( 证明 因为 |AT((E|(|(A((E)T|(|A((E|T(|A((E|( 所以AT与A的特征多项式相同( 从而AT与A的特征值相同( 7( 设n阶矩阵A、B满足R(A)(R(B)(n( 证明A与B有公共的特征值( 有公共的特征向量( 证明 设R(A)(r( R(B)(t( 则r(t(n( 若a1( a2( (((( an(r是齐次方程组Ax(0的基础解系( 显然它们是A的对应于特征值((0的线性无关的特征向量( 类似地( 设b1( b2( (((( bn(t是齐次方程组Bx(0的基础解系( 则它们是B的对应于特征值((0的线性无关的特征向量( 由于(n(r)((n(t)(n((n(r(t)(n( 故a1( a2( (((( an(r( b1( b2( (((( bn(t必线性相关( 于是有不全为0的数k1( k2( (((( kn(r( l1( l2( (((( ln(t( 使 k1a1(k2a2( ((( (kn(ran(r(l1b1(l2b2( ((( (ln(rbn(r(0( 记 ((k1a1(k2a2( ((( (kn(ran(r(((l1b1(l2b2( ((( (ln(rbn(r)( 则k1( k2( (((( kn(r不全为0( 否则l1( l2( (((( ln(t不全为0( 而 l