.椭圆的标准方程.pptVIP

椭圆的标准方程 授课教师：邓万生 一、复习 1、求曲线方程的步骤： （一）椭圆的定义 椭圆的标准方程 （二）由椭圆的定义求椭圆的标准方程： * 工作单位：宜宾县高场职中 电脑制作：罗建平 2、已知P(x1，y1)、Q(x2，y2),求PQ两点间距离。 ①（适当建立坐标系），设动点P(x，y)。 ②写出动点在曲线上的充要条件。 ③根据条件，用x，y列出方程。 ④化简方程。 ⑤证明化简后的方程是所求曲线方程。 （关键） （在草稿进行） ①平面内有两定点F1、F2。 ②绳无弹性，且定长。 　（即绳长为常数） ③绳长大于两定点F1、F2的距离。 1、观察右图的画图过程，分析条件： 2、椭圆的定义： 定义：平面内与两定点F1和F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆。 两定点F1、F2叫椭圆的焦点，两焦点距离叫做焦距。 二、新课 图 （1） F2 F1 分析：如图(2)所示，首先建立直角坐标系，由于已知条件中有两个定值，但又没有具体给出，因此应先设出这两个定值，然后写出定点F1、F2的坐标，再由已知条件找出动点在曲线上的充要条件后建立方程求解。 1、已知平面内有两定点F1、F2，动点M到F1、F2的距离的和为常数（大于F1F2），求动点M的轨迹方程。 M(x，y) F1(-c,0) F2(c,0) 图 （2） o y x 解：如图(3)所示：由已知设|F1F2|=2c(c＞0)，M与两定点的距离的　　 和为2a( ＞ 2c＞0)得F1(-c，0) 、F1(c，0)，设动点P(x，y)。 已知平面内有两定点F1、F2，动点M到F1、F2的距离的和为常数且大于F1F2，求动点M的轨迹方程。 由椭圆定义得： |MF1|+|MF2|=2a 　　　　(椭圆定义式） 所以： 整理化简为： （a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) ① 将①式化简整理得： ② ∵a＞c ＞ 0，∴a2-c2 ＞0 所以设　　b2=a2- c2 ＞0 (b ＞0) ③ ∴②式化简为： （a ＞b ＞0) ④ ③式变形得椭圆基本关系c2=a2-b2，④式叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程。 F1(-c,0) M(x,y) F2(c,0) 图（3） y x 如图(4)所示：若椭圆焦点F1、F2在y轴上，只需将④中x、y互换即可得椭圆的标准方程。 即为： 焦点在x轴上的标准方程为： ⑤ c2=a2-b2 F1(0，-c) 、F2(0，c) （a ＞b ＞0） 综上所述： 焦点在y轴上的标准方程为： （a ＞b ＞0） （a ＞b ＞0) 其中： c2=a2-b2 x y o F2 F1 图（４） （三）、椭圆标准方程的应用： 　　例：已知△ABC的边长BC为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程。 分析：如图(5)，BC=6为定长，B、C点为定　　　点，由三角形周长可知AB+AC=10　　　 （＞6），由椭圆定义可知，顶点A的 　　　轨迹为椭圆。 解：因BC=6，AB+AC=10，故定点A的轨迹为椭圆。 如图建立坐标系，则B(-3,0)、C(3,0)为椭圆两焦点，则在x轴上，由定义有：2c=6，c=3，2a=10，a=5 所以： b2 =a2- c2=16，椭圆的标准方程为： 因为A、B、C三点构成三角形，所以顶点A不能落在x轴上，所以x≠±5，即去掉椭圆与x轴两交点（-5,0）、（5,0）。 (x≠±5) 所以满足条件的轨迹方程为 B(-3，0) A C(3,0) 图（5） y x *