为严格对角占优阵.PPT

6.3.2 关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性 6.4 分块迭代法 定义3 (1) 如果 的元素满足 称 为严格对角占优阵. (2) 如果 的元素满足 且上式至少有一个不等式严格成立， 称 为弱对角占优阵. (对角占优阵) 设 定义4 设 , 如果存在置换阵 使 （3.6） 其中 为 阶方阵， 为 阶方阵 ， 为可约矩阵. 否则，如果不存在这样置换阵 使(3.6)式成立，则 称 为不可约矩阵. (可约与不可约矩阵) 则称 为可约矩阵意即 可经过若干行列重排化为(3.6)或 可化为两个低阶方程组求解. 如果 经过两行交换的同时进行相应两列的交换， 称对 进行一次行列重排. 事实上，由 可化为 且记 于是，求解 化为求解 其中 为 维向量. 由上式第2个方程组求出 , 显然，如果 所有元素都非零，则 为不可约阵. 再代入第1个方程组求出 例7 则 都是不可约矩阵. 设有矩阵 定理6 如果  为严格对角 占优矩阵或 为不可约弱对角占优矩阵， 则 为非奇异矩阵. 证明 只就 为严格对角占优阵证明此定理. 采用反证法， 如果 ， 则 有非零解， 记为  , 由齐次方程组第 个方程 则有 (对角占优定理) 则 即 与假设矛盾，故 定理7 设 , (1) 为严格对角占优阵，则解 的雅可比迭 代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛. (2) 为弱对角占优阵，且 为不可约矩阵，则解 雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛. 证明 如果： 只证(1)中高斯-塞德尔迭代法收敛，其他同理. 由设可知， ，解 的高斯-塞 德尔迭代法的迭代矩阵为 下面考查 的特征值情况. 由于 , 于是 特征值即为 之根. 记 下面证明，当 时， ，即 的特征值 均满足 ， 事实上，当 时， 由 为严格对角占优阵， 这说明，当 时，矩阵 为严格对角占优阵， 再由对角占优定理有 由基本定理，则有高斯-塞德尔迭代法收敛.  有 证明 有 ， 设 的特征值为 ， 定理8 或 另一方面 (SOR方法收敛的必要条件) 设解方程组 的SOR迭代法收敛， 则 由SOR迭代法收敛，则由定理4的推论中的(3) 则 从而 即 定理8说明解 的SOR迭代法，只有在 范围 内取松弛因子 ，才可能收敛. 定理9 设 ， (1) 为对称正定矩阵， 则解 的SOR迭代法收敛. 如果： 证明 在上述假定下，只需证明 ， 其中 为 的任一特征值. 事实上，设 为对应 的 的特征向量， 亦即 即 为了找出 的表达式，考虑数量积 则 显然 记 由于 ， 所以  , （3.7） 故 （3.8） 所以 从而 当 时，利用(3.7)，(3.8)，有 当 时， 即 的任一特征值满足 ， 故SOR方法收敛 可以证明 定理10 设 ， (1) 为严格对角占优矩阵(或 为弱对角占优不可约 矩阵)； 如果： 则解 的SOR迭代法收敛. 下面讨论迭代法的收敛速度. 由定理3证明中可知，如果 且 越小时， 迭代法收敛越快. 及一阶定常迭代法 （3.9） 且设迭代法收敛， 记 ， 现设有方程组 则 由基本定理有 , 且误差向量 满足 故 设 为对称矩阵，则有 欲使 取对数，得到所需最少迭代次数为 （3.10） 这说明，所需迭代次数与 成反比. 越小，