利用Mathcad进行多元线性回归分析-Read.DOC

2 利用Mathcad2000进行多元线性回归分析 【例】同Excel2000例。 第一步，输入数据或从Excel调入数据（图1）。 图1 录入或调入的数据 第二步，建立自变量矩阵Mx和因变量矩阵My。 ⑴ 定义矩阵。输入“Mx:=”，然后在Matrix工具栏中选择矩阵符号（图2）并单击，弹出一个Insert Matrix(插入矩阵)对话框（图3），设Rows（行）数为18——与样本数或时间序列长度对应；设Columns(列)数为3——与自变量个数一致。点击OK确定，便会生成一个由Mx定义的自变量矩阵。用类似的方法生成一个由My定义的因变量矩阵（图4）。 图2 Matrix工具栏中矩阵符号的位置 图3 Insert Matrix对话框 图4 变量矩阵 ⑵ 粘贴数据。在数据表中选中全部的自变量，点右键，选择Copy Selection（图5）。然后选中矩阵Mx中的全部点位，粘贴（Paste）（图6），即可生成矩阵自变量Mx；用类似的方法不难生成因变量矩阵My（图7）。 图5 选中自变量的全部数据作拷贝选择 图6 将从数据表中拷贝的自变量粘贴进来 图7 自变量和因变量矩阵 ⑶ 数据拟合。借助回归命令regress、提取子矩阵命令submatrix和矢量元素数目命令length等即可方便地给出回归系数（图8）。据此可以建立回归模型如下： 图8 回归结果及其与Excel2000结果的对照 ⑷ 模型检验。 ① 计算相关系数。定义回归系数a1、a2、a3及b，然后用pre表示预测模型（这种方法较之直接利用回归结果计算准确）。借助均值命令mean容易算出回归平方和SSr和总平方和SSt，然后根据公式 容易算出复相关系数：（图9）。进而定义变量x1、x2、x3、y，利用相关系数命令容易求出简单相关系数：，，。 图9 复相关系数和简单相关系数的计算过程 计算偏相关系数稍微复杂一点。在变量较多的情况下，用公式计算偏相关系数很麻烦，比较便捷的方式是借助相关矩阵进行运算（图10）。计算公式为 这里为第j个自变量与因变量y的偏相关系数，c为相关系数矩阵的逆矩阵中对应的元素。定义了数组以后（图9），在Mathcad的工作表中定义一个相关系数矩阵RM如下： 键入RM，回车，立即得到相关系数矩阵 这个矩阵中在可以读到任意两个变量之间的简单相关系数，自变量与因变量之间的简单相关系数从最后一列可以读出，列为表格便是 工业产值 农业 产值 固定资产投资 运输业产值 工业产值 1 0.979 0.976 0.989 农业产值 0.979 1 0.952 0.965 固定资产投资 0.976 0.952 1 0.987 运输业产值 0.989 0.965 0.987 1 再键入RM-1，得到RM的逆矩阵 列为表格便是 工业产值 农业 产值 固定资产投资 运输业产值 工业产值 76.961 -27.1 0.862 -50.826 农业产值 24.125 0.011 3.513 固定资产投资 40.171 -40.532 运输业产值 87.91 由于矩阵是对称的，上标只给出了上三角。对于x1与y的偏相关系数，我们有，，，根据上述公式可知 类似地，可以求得x2、x3与y的偏相关系数如下 图10 偏相关系数的计算过程 从简单相关系数看来，农业产值与运输业产值的相关性虽然较低，但还看不出多重共线性，但偏相关系数却给出，这表明：第一，农业产值与运输业产值的相关性很低（绝对值小）；第二，相关系数的符号与实例不符（负号），这意味着农业发展了，运输业反而降低了，这是不符合实际情况的。因此，应该剔除第二个自变量，重新进行多元线性回归。 ② 计算标准误差 标准误差的计算公式为 在图9所示的结果下面，根据上面公式容易计算标准误差，过程如下： 可见标准误差约为（准确值为0.335426）。 ③ 计算F值 F值的计算公式为 式中为自变量个数，为标准误差。在标准误差的计算过程下面，F值的计算过程如下（图11）： 图11 F值的计算过程 容易得到。由于四舍五入之故，这个数值不够准确，较准确的数值应为。 ④ 计算t值 计算t值的方法可能超出了大家目前的知识范围，不过线性代数知识过关的同学不难掌握。t值的计算公式为 式中bi为自变量xi的回归系数，sbi的计算公式为，这里cii为正规方程系数矩阵C的逆矩阵中的i行i列元素。矩阵C中的第i行第j列元素可表示为 式中k为样本的序号。在Mathcad工作表中，在图9、图11所示的结果下面，t值的详细计算过程如下（图12）。检验分析从略。 图12 t值的计算过程 ⑤ 计