浅谈微积分在大学教学和实际生活中的应用郭伟伟.doc

2013年南昌教育学院学报高等教育第28卷第6期 浅谈微积分在大学教学和实际生活中的应用 郭伟伟 (路安职业技术学院山西长治046204 摘要:微积分是微分学和积分学的合称,它作为数学学科的重要分支,不但在数学学科中占据着非常重要的地位,并且在力学、经 济学、生物学、天文学等领域内也有非常重要的作用,同时,20世纪中叶电子计算机的出现也使得微积分的应用范围得到了拓展。函数的 产生促进了科学技术的快速发展,微积分也应运而生。微积分对于我们解决相关问题有很大帮助,比如,利用微积分来预测答案(利用极 限的思想)、确定一些简单的学习方法、投资决策、对实际问题进行数学建模等,这些问题都可以通过微积分的知识和方法来进行分析, 并找出其中的规律,从而做出决策。 关键词:微积分应用;投资决策;数学建模 中图分类号:0172文献标识码:A文章编号:1008一6757(?2013)?06一0080一01 微积分是建立在函数、实数、极限基础上用于解决变量瞬 间变化的函数。它是函数的微分与函数的积分的一个数学分 支。它的基本内容可以归结为:无限细分就是微分,无限求和 就是积分。无限就是极限,极限的思想是微积分的基础,它是 用一种运动的思想看待问题。在现代的大学教学中微积分主要 是应用在数学教学和物理教学中,在数学教学中,它的主要研 究对象是变量在函数中的作用;在物理学方面,主要用于解决 人们关于速度和加速度的问题。微积分是在十七世纪中叶由牛 顿和莱布尼茨建立的,但是当时他们的主要出发点是直观的无 穷小量,理论上这个概念还不是很牢固。直到十九世纪,柯西 和维尔斯特拉斯建立了极限理论,康托尔等建立了严格的实数 理论,这门学科才得以严密化。本文将从微积分的内容、微积 分在大学教学中的应用、微积分在实际生活中的应用这三个角 度出发,探讨了微积分的相关实际应用内容。 一、微积分的内容 微积分是指上由微分、积分、以及一个微积分定理—牛顿莱布尼茨公式组成。极限、微分、积分概念,极限方法,微 积分计算原理,运动辨证思想和数学观念的培养,组成了微积 分的知识结构系统,极限概念和极限思想方法贯穿了微积分的 全部内容。总的来说微积分可以看作是一种无限分割的思想, 即将复杂的问题拆解成很小的组成部分,通过研究小的内容来 对整体进行估计的一种思想。 二、微积分在大学教学中的应用 在现在的大学教育中,很多专业知识的学习都会涉及到微 积分,那么笔者这里将对微积分在大学教学中的应用进行一下 简单的介绍,主要是从数学教学和物理教学上来说明。 (一)微积分在数学教学上的应用 微积分的基本概念中包括积分学和微分学。其中积分学的 主要内容有:定积分和不定积分;微分学的主要内容有:几线 理论、导数、微分。一般地,提到微积分,人们自然就会联想 到数学分析,但是实际上数学分析是微积分的一种方法,并且 数学分析还函数论等其他分支学科。微积分作为数学的一个重 要分支,在数学教学上的应用主要集中于以下几个方面: 1微积分用于数学建模 在实际生活中,通过讲一个抽象的生活问题具体化成一个 数学模型来对现实问题进行简化、假设,并得到一个比较合理 的解决方案,这就是数学建模的意义所在。在历史上,人们利 用微积分的知识对很多现实问题进行数学建模,并且取得了巨 大的科学贡献。比如,牛顿利用自己研究的微积分提出了万有 引力定律,这一创造性的成就可以看作是历史上最著名的数学 模型之一,还有道格拉斯生产函数也是通过微积分的理论才提 出来的。这些伟大的例子都说明了微积分在数学建模过程中起 着举足轻重的作用。 2.微积分用于等式的证明 在研究变量之间制约关系时,经常会对相关的等式进行证 明,由于微积分的这种无限分割的思想,使得它在某些数学问 题上可以起到以简驭繁的作用,加之它的一些重要的性质、定 理,比如微积分的中值定理、函数的增减性、极值判定法、定 积分的性质等,使得它在证明等式成立时非常有用,使用微积 分可以使等式简化,降低利用普通方法证明的技巧性,从而容 易求证。 3.微积分用于函数的变化性态及作图 函数图象对于理解函数起着至关重要的作用。由于它的直 观性,使得我们在说明一个函数的整体特性时,有必要给出函 数的图像。传统的函数制图方式就是多点手绘法,但是这种图 一般是比较粗糙,只能够对函数的某些直观特性加以反映,但 是对于函数具体细节无法体现。但是,用导数作为工具,可有 效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点做 出准确的判断,从而比较准确地作出函数的图象。而导数与微 分是一个非常相近的概念,这也是微积分的一个重要的部分。 (二)微积分在物理学上的应用 微积分的无限分割思想不仅在数学上有非常重要的应用, 同时在物理学上也解决了很多重要的问题,主要集中在以下几 个方面: 1微积分在变力做功中的应用 我们知道