八年级数学整数的整除性复习题.doc

本资料来源于《七彩教育网》 全国初中（初二）数学竞赛辅导 第二十四讲* 整数的整除性 　　整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的． 　　1．整除的基本概念与性质 　　所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下． 　　定义 设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作ba． 　　关于整数的整除，有如下一些基本性质： 　　性质1 若b｜a，c｜b，则c｜a． 　　性质2 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)． 　　性质3 若c｜a，cb，则c(a±b)． 　　性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac． 　　性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c． 　　性质6 若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)． 　　性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b． 　　性质8 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(an-bn)． 　　性质9 若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(an-bn)． 　　性质10 若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(an＋bn)． 　　2．证明整除的基本方法 　　证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法．下面举例说明． 　　例1 证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除． 　　分析 要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可． 　　证 设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是 　　(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1 =12(n2＋n＋1)． 　　所以 　　12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]． 　　又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故 24 [(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]． 　　例2 若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除． 　　证 设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得 3v-5u=17x．① 　　所以 17｜3v． 　　因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y． 　　若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x＋3y． 　　q＞1．求pq的值． 　　解 若p=q，则 　　不是整数，所以p≠q．不妨设p＜q，于是 　 　　 　 　　是整数，所以p只能为3，从而q=5．所以 pq=3×5=15． 　　例4 试求出两两互质的不同的三个自然数x，y，z，使得其中任意两个的和能被第三个数整除． 　　分析 题中有三个未知数，我们设法得到一些方程，然后从中解出这些未知数． 　　最小的一个： 　　 　　y｜(y＋2x)，所以y｜2x，于是 　　数两两互质，所以x=1． 　　所求的三个数为1，2，3． 　　例5 设n是奇数，求证： 60｜6n-3n-2n-1． 　　分析 因为60=22×3×5，22，3，5是两两互质的，所以由性质6，只需证明22，3，5能被6n-3n-2n-1整除即可．对于幂的形式，我们常常利用性质8～性质10，其本质是因式分解． 　　证 60=22×3×5．由于n是奇数，利用性质8和性质10，有 22｜6n-2n，22｜3n＋1， 　　所以 22｜6n-2n-3n-1， 3｜6n-3n， 3｜2n+1， 　　所以 3｜6n-3n-2n-1，5｜6n-1，5｜3n+2n， 　　所以 5｜6n-1-3n-2n． 　　由于22，3，5两两互质，所以 60｜6n-3n-2n-1． 　　我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k表示，奇数常用2k+1表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a被3除时，余数只能是0，1，2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k，3k＋1，3k＋2这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理． 　　例6 若整数a不被2和3整除，求证：24｜(