专题二作图问题.docx

专题二　作图问题类型1　尺规作图1．(2017·兰州)在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P.求作：直线l的垂线，使它经过点P.作法：如图：(1)在直线l上任取两点A、B；(2)分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；(3)作直线PQ.参考以上材料作图的方法，解决以下问题：(1)以上材料作图的依据是：______________________________________________(2)已知：直线l和l外一点P.求作：⊙P，使它与直线l相切．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)解：(1)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上(2)如图⊙P即为所求．2．(2017·六盘水)如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点．(1)利用尺规作图，确定当PA＋PB最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)．(2)求PA＋PB的最小值．解：(1)如图1所示，点P即为所求；(2)由(1)可知，PA＋PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，∵A′点为点A关直线MN的对称点，∠AMN＝30°，∴∠AON＝∠A′ON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，又∵B为的中点，∴＝，∴∠BON＝∠AOB＝∠AON＝30°，∴∠A′OB＝60°＋30°＝90°，又∵MN＝4，∴OA′＝OB＝MN＝×4＝2.∴在Rt△A′OB中，A′B＝2，∴PA＋PB的最小值为2.3．(2017·舟山)如图，已知△ABC，∠B＝40°.(1)在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F(保留痕迹，不必写作法)；(2)连接EF，DF，求∠EFD的度数．解：(1)如图1，⊙O即为所求．(2)如图2，连接OD，OE，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠ODB＝∠OEB＝90°，∵∠B＝40°，∴∠DOE＝140°，∴∠EFD＝70°.4．(2017·海宁模拟)小明在“课外新世界”中遇到这样一道题：如图1，已知∠AOB＝30°与线段a，你能作出边长为a的等边三角形△COD吗？小明的做法是：如图2，以O为圆心，线段a为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N，在弧MN上任取一点P，以点M为圆心，MP为半径画弧，交弧CD于点C，同理以点N为圆心，NP为半径画弧，交弧CD于点D，连结CD，即△COD就是所求的等边三角形．(1)请写出小明这种做法的理由；(2)在此基础上请你作如下操作和探究(如图3)：连结MN，MN是否平行于CD？为什么？(3)点P在什么位置时，MN∥CD？请用小明的作图方法在图1中作出图形(不写作法，保留作图痕迹)．解：(1)如图2，连结OP，由题意可得＝，∴∠COM＝∠POM，＝，∴∠PON＝∠DON，∴∠POM＋∠PON＝∠COM＋∠DON＝30°，∴∠COD＝2∠MON＝60°，∴△OCD是等边三角形；(2)不一定，只有当∠COM＝15°，CD∥MN，理由：∵∠COM＝15°，∠MON＝30°，∴∠CON＝45°，∵∠C＝60°，∴∠OEC＝75°，∵ON＝OM，∴∠ONM＝∠OMN＝75°，∴∠OEC＝∠ONM，∴CD∥MN；(3)当P是的中点时，MN∥CD；如图3所示．类型2　网格作图和其他5．(2017·枣庄)如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为( B )A．2＜r＜B.＜r＜3C.＜r＜5 D．5＜r＜解：给各点标上字母，如图所示．AB＝＝2，AC＝AD＝＝，AE＝＝3，AF＝＝，AG＝AM＝AN＝＝5，∴＜r＜3时，除点A外恰好有3个在圆内．6．我们约定，若一个三角形(记为△A1)是由另一个三角形(记为△A)通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A1是由△A复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图1，由△A复制出△A1，又由△A1复制出△A2，再由△A2复制出△A3，形成了一个大三角形，记作△B.以下各题中的复制均是由△A开始的，通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形(指与△A全等的三角形)之间既无缝隙也无重叠．(1)图1中标出的是一种可能的复制结果，小明发现△A∽△B，其相似比为__1∶2__．在图1的基础上继续复制下去得到△C，若△C的一条边上恰有11个小三角形(指有一条边在该边上的小三角形)，则△C中含有__121__个小三角形；(2)若△A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是__正三角形或正六边形__；(3)请你用两次