专题八与圆有关的证明与计算.docx

专题八　与圆有关的证明与计算类型1　与圆有关的性质有关的证明与计算1．(2017·杭州模拟)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(2，0)，B(4，0)，C(0，5)，点D在第一象限内，且∠ADB＝45°.线段CD的长的最小值为__5－__．2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C.(1)求证：CB∥PD；(2)若BC＝3，sinP＝，求⊙O的直径．解：(1)证明：∵∠C＝∠P，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P.∴CB∥PD.(2)连接AC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴＝.∴∠P＝∠CAB，∴sin∠CAB＝，即＝.又知，BC＝3，∴AB＝5.∴⊙O直径为5.类型2　与圆的切线有关的证明与计算3．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC(C为切点)和割线PAB，分别交⊙O于A，B，连接AC，BC.(1)求证：∠PCA＝∠PBC；(2)利用(1)的结论，已知PA＝3，PB＝5，求PC的长．解：(1)证明：连接OC，OA，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO.∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC.∴∠PCO＝90°，∠PCA＋∠ACO＝90°.在△AOC中，∠ACO＋∠CAO＋∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠PBC，∴2∠ACO＋2∠PBC＝180°.∴∠ACO＋∠PBC＝90°.∵∠PCA＋∠ACO＝90°，∴∠PCA＝∠PBC.(2)∵∠PCA＝∠PBC，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB.∴＝，即PC2＝PA·PB.∵PA＝3，PB＝5，∴PC＝＝.4．(2017·温州)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O(圆心O在△ABC内部)经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F.延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D.(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；(2)若BC＝3，tan∠DEF＝2，求BG的值．解：(1)连接CE，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∵EF是⊙O的切线，∠FEO＝90°，∴∠EOC＝2∠B＝90°，∴EF∥OD，又∵DE∥CF，∴四边形CDEF是平行四边形；(2)过G作GN⊥BC于N，∴△GMB是等腰直角三角形，∴MB＝GM，∵四边形CDEF是平行四边形，∴∠FCD＝∠FED，∵∠ACD＋∠GCB＝∠GCB＋∠CGM＝90°，∴∠CGM＝∠ACD，∴∠CGM＝∠DEF，∵tan∠DEF＝2，∴tan∠CGM＝＝2，∴CM＝2GM，∴CM＋BM＝2GM＋GM＝3，∴GM＝1，∴BG＝GM＝.5．(2017·台州模拟)已知：如图，AC是⊙O的直径，圆心为点O，过A，C两点分别作⊙O的切线，过圆心O的直线分别交这两条切线于B，D两点．(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AB，CD分别过⊙O上的点E，F，判断四边形AECF的形状，并证明你的结论；(3)若⊙O的半径为3，BC＝2，求图中四边形ABCD被⊙O割后余下图形(阴影部分)的面积．解：(1)证明：∵AC为⊙O的直径，∴OA＝OC，∵BC，AD分别是⊙O的切线，∴∠OCB＝∠OAD＝90°，∵∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB，∴OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；(2)四边形AECF是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥AE，∴∠ACF＝∠CAE，∵AC＝AC，∴△AFC≌△CEA，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC是直径，∴∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形；(3)连接EO.∵⊙O的半径为3，∴AC＝6，∵BC＝2，∴∠BAC＝30°，∴∠COE＝60°，所以S阴影＝2(S△ABC－S△AOE－S扇形OBC)＝2(×6×2－×3×－)＝－3π.