专题十一　几何、代数最值问题.docx

专题十一　几何、代数最值问题类型1　利用对称、线段公理求最小值1．(2017·临沂)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10.若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是( C )A．6B．10 C．2D．2解：由已知得M(6，)，N(，6)，∴BN＝6－，BM＝6－，∵△OMN的面积为：6×6－×6×－×6×－×(6－)2＝10，∴k＝24，∴M(6，4)，N(4，6)，作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长＝PM＋PN的最小值，∵AM＝AM′＝4，∴BM′＝10，BN＝2，∴NM′＝＝＝2.2．(2017·枣庄)如图，直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为( C )A．(－3，0) B．(－6，0)C．(－，0) D．(－，0)解：(方法一)作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC＋PD值最小，如图1所示．可求点B(0，4)；A(－6，0)．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C(－3，2)，点D(0，2)．∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为(0，－2)．设直线CD′的解析式为y＝kx＋b，∵直线CD′过点C(－3，2)，D′(0，－2)，可求CD′的解析式为y＝－x－2.令y＝－x－2中y＝0，则0＝－x－2，解得：x＝－，∴点P(－，0)．(方法二)连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC＋PD值最小，如图2所示．3．(2017·贵港)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是( B )A．4 B．3 C．2 D．1解：如图连接PC.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC＋CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3(此时P、C、M共线)．4．(2017·菏泽)如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为(－4，5)，D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是( B )A．(0，) B．(0，) C．(0，2) D．(0，)解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，则此时，△ADE的周长最小，∵四边形ABOC是矩形，∴AC∥OB，AC＝OB，∵A的坐标为(－4，5)，∴A′(4，5)，B(－4，0)，∵D是OB的中点，∴D(－2，0)，设直线DA′的解析式为y＝kx＋b，可求直线DA′的解析式为y＝x＋，当x＝0时，y＝，∴E(0，)．5．(2017·天水)如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE＝1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是__6__．解：连接DE于AC交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E的周长就是△PBE周长的最小值，∵BE＝1，BC＝CD＝4，∴CE＝3，DE＝5，∴BP′＋P′E＝DE＝5，∴△PBE周长的最小值是5＋1＝6.6．(2017·徐州)如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE(如图1)，点O为其交点．(1)探求AO与OD的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若P，N分别为BE，BC上的动点．①当PN＋PD的长度取得最小值时，求BP的长度；②如图3，若点Q在线段BO上，BQ＝1，则QN＋NP＋PD的最小值＝____．解：(1)AO＝2OD，理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝∠OBD＝30°，∴AO＝OB，∵BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO＝90°，∴OB＝2OD，∴OA＝2OD；(2)如图2，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN＋PD的长度取得最小值，∵BE垂直平分DD′，∴BD＝BD′，∵∠ABC＝60°，∴△BDD′是等边三角形，∴BN＝BD＝，∵∠PBN＝30°，∴＝，∴PB＝；(3)如图3，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，则D′Q′的长度即为QN＋NP＋PD的最小值．在Rt△D′BQ′中，D′Q′＝＝.∴QN＋NP＋PD的最小值＝.类型2　利用函数性质求最值7．(2017·济宁)已知函数y＝mx2－(2m－5)x＋m－2的图象与x轴有两个公共点．(1)求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时