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初等数论期末练习一 一、单项选择题 1、如果，，则( ). A B C D 2、如果，，则15（ ）. A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果,是任意整数,则 A B C ( D 5、如果( ),则不定方程有解. A B C D 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果，，则30（ ）. A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 8、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个 9、模5的最小非负完全剩余系是( ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 二、填空题 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式有解的充分必要条件是( ). 3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( ). 5、的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果是两个正整数,则存在( )整数,使,. 7、设是素数,则不定方程有（ ）. 8、如果同余式有解,则解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是13的倍数. 10、如果,则=( ). 11、如果,那么=( ). 三、计算题 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程. 3、解同余式. 4、求,其中563是素数. （8分） 5、求[24871,3468]=? 6、求解不定方程. 7、解同余式. 8、求17的平方剩余与平方非剩余. 四、证明题 1、证明对于任意整数,数是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和. 4、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数. 5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数. 初等数论期末练习一答案 一、单项选择题1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 7、A 8、C 9、D 10、B 二、填空题 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式有解的充分必要条件是(). 3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( 与互素 ). 5、的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果是两个正整数,则存在( 唯一 )整数,使,. 7、设是素数,则不定方程有（ 唯一解 ）. 8、如果同余式有解,则解的个数( ). 9、在176与545之间有( 28 )是13的倍数. 10、如果,则=( ). 11、如果,那么=( 1 ). 三、计算题 求[136,221,391]=?（8分） 解 [136,221,391] =[[136,221],391] =[] =[1768,391] = =104391 =40664. 2、求解不定方程.（8分） 解：因为（9，21）=3，，所以有解； 化简得； 考虑，有， 所以原方程的特解为， 因此，所求的解是。 3、解同余式. （8分） 解 因为(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于,即. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的. 因此同余式的3个解为 , , . 4、求,其中563是素数. （8分） 解 把看成Jacobi符号,我们有 -）- , 即429是563的平方剩余. 5、求[24871,3468]=?（8分） 解：因为 （24871,3468）=17 所以 [248