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传染病问题中的SIR模型 摘要： 2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。在这里我采用SIR（Susceptibles，Infectives，Recovered）模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要用由Kermack与McKendrick在1927年用动力学方法建立最优人类健康与社会经济发展关键：传染病；动力学；SIR模型不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。人口始终保持一个常数。以下三类：易感者(usceptibles)，其数量记为，表示时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数；染病者(nfectives)，其数量记为，表示时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数；恢复者(ecovered)，其数量记为，表示时刻已从染病者中移出的人数。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。在以上三个基本假设条件下，易感者从患病到移出的过程框图表示如下： 移出者的数量为 （2） 不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为（＞0），（＞0），=0. SIR基础模型用微分方程组表示如下： （3） s(t) ， i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) ， i(t)的一般变化规律。 三﹑数值计算 在方程（3）中设λ=1，μ=0.3，i（0）= 0.02，s（0）=0.98，用MATLAB软件编程： function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)]; ts=0:50;x0=[0.02,0.98];[t,x]=ode45(ill,ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2))pauseplot(x(:,2),x(:,1)) 输出的简明计算结果列入表1。i(t) , s(t)的图形以下两个图形，i~s图形称为相轨线,初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点,随着t的增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值,然后减少,t→∞,i→0,s(t)则单调减少,t→∞,s→0.0398. 并分析i(t),s(t)的一般变化规律. t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 i(t) 0.0200 0.0390 0.0732 0.1285 0.2033 0.2795 0.3312 0.3444 0.3247 s(t) 0.9800 0.9525 0.9019 0.8169 0.6927 0.5438 0.3995 0.2839 0.2027 t 9 10 15 20 25 30 35 40 45 i(t) 0.2863 0.2418 0.0787 0.0223 0.0061 0.0017 0.0005 0.0001 0 s(t) 0.1493 0.1145 0.0543 0.0434 0.0408 0.0401 0.0399 0.0399 0.0398  表1 i(t),s(t)的数值计算结果 四﹑相轨线分析 我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i（t）,s（t）的性质。 i ~ s平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域（s，i）∈D为 D = ｛（s，i）| s≥0，i≥0 ， s + i ≤1｝ （4） 在方程（3）中消去并注意到σ的定义，可得 ， （5） 所以： （6） 利用积分特性容易求出方程(5)的解为： （7） 在定义域D内,(6)式表示的曲线即为相轨线,如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(