动态规划算法(与王晓东老师教材匹配,包括矩阵连乘问题、电路布线问题、0-1背包问题等都有详解).ppt

第3章 动态规划; 学习要点: 理解动态规划算法的概念。 掌握动态规划算法的基本要素 （1）最优子结构性质 （2）重叠子问题性质 掌握设计动态规划算法的步骤。 (1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 (2)递归地定义最优值。 (3)以自底向上的方式计算出最优值。 (4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。;通过应用范例学习动态规划算法设计策略。 （1）矩阵连乘问题； （2）最长公共子序列； （3）最大子段和 （4）凸多边形最优三角剖分； （5）多边形游戏； （6）图像压缩； （7）电路布线； （8）流水作业调度； （9）背包问题； （10）最优二叉有哪些信誉好的足球投注网站树。 ;动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题;但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。;如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。;动态规划基本步骤;矩阵连乘问题;矩阵连乘问题;特征：计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链 A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。 矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求解的显著特征。;建立递归关系;计算最优值;用动态规划法求最优解;动态规划算法的基本要素;动态规划算法的基本要素;动态规划算法的基本要素;最长公共子序列;最长公共子序列的结构;子问题的递归结构;计算最优值;算法的改进;凸多边形最优三角剖分;三角剖分的结构及其相关问题;最优子结构性质;最优三角剖分的递归结构;多边形游戏;最优子结构性质;图像压缩;图像压缩;电路布线;记 。N(i,j)的最大不相交子集为MNS(i,j)。Size(i,j)=|MNS(i,j)|。 (1)当i=1时， (2)当i1时， 2.1 jπ(i)。此时， 。故在这种情况下，N(i,j)=N(i-1,j)，从而Size(i,j)=Size(i-1,j)。 2.2 j≥π(i)，(i,π(i))∈MNS(i,j) 。 则对任意(t,π(t)) ∈MNS(i,j)有ti且π(t)π(i)。在这种情况下MNS(i,j)-{(i,π(i))}是N(i-1,π(i)-1)的最大不相交子集。 2.3 若 ，则对任意(t,π(t)) ∈MNS(i,j)有 ti。从而 。因此，Size(i,j)≤Size(i-1,j)。 另一方面 ，故又有Size(i,j)≥Size(i-1,j)， 从而Size(i,j)=Size(i-1,j)。;流水作业调度;流水作业调度;Johnson不等式;流水作业调度的Johnson法则;算法描述;0-1背包问题;0-1背包问题;算法改进;一个例子;函数m(i,j)是由函数m(i+1,j)与函数m(i+1,j-wi)+vi作max运算得到的。因此，函数m(i,j)的全部跳跃点包含于函数m(i+1，j)的跳跃点集p[i+1]与函数m(i+1，j-wi)+vi的跳跃点集q[i+1]的并集中。易知，(s,t)?q[i+1]当且仅当wi?s?c且(s-wi,t-vi)?p[i+1]。因此，容易由p[i+1]确定跳跃点集q[i+1]如下q[i+1]=p[i+1]?(wi,vi)={(j+wi,m(i,j)+vi)|(j,m(i,j))?p[i+1]} 另一方面，设(a，b)和(c，d)是p[i+1]?q[i+1]中的2个跳跃点，则当c?a且db时，(c，d)受控于(a，b)，从而(c，d)不是p[i]中的跳跃点。除受控跳跃点外，p[i+1]?q[i+1]中的其它跳跃点均为p[i]中的跳跃点。 由此可见，在递归地由表p[i+1]计算表p[i]时，可先由p[i+1]计算出q[i+1]，然后合并表p[i+1]和表q[i+1]，并清除其中的受控跳跃点得到表p[i]。;一个例子;上述算法的主要计算量在于计算跳跃点集p[i](1≤i≤n)。由于q[i+1]=p[i+1]?(wi，vi)，故计算q[i+1]需要O(|p[i+1]|)计算时间。合并p[i+1]和q[i+1]并清除受控跳跃点也需要O(|p[i+1]|)计算时间。从跳跃点集p[i]的定义可以看出，p[i]中的跳跃