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渐开线齿轮轮廓线方程的建立
摘要
根据范成法齿轮切削原理,利用包络线法推导出渐开线圆柱齿轮轮齿齿廓线参数方程。并且给出了确定渐开线段和过渡线段的参数变化范围的算法。该算法已在MATLAB中编程验证。利用该参数方程,可以精确建立齿轮的三维模型,以进行后续的刚度、强度分析。
关键词:范成法;包络线;渐开线齿轮;过渡曲线
引言
渐开线齿轮广泛应用于各行各业。对齿轮的性能要求越来越高,需要对其建立三维模型进行动力学,静力学分析等等。在进行运动学和动力学分析时,需要知道轮齿齿廓曲线方程。渐开线齿轮轮齿齿廓分为两部分:渐开线部分和过渡曲线部分。渐开线部分主要用于传递运动,其曲线方程容易求到;过渡曲线部分不传递运动,但是对轮齿强度有很大影响,然而鲜有文献介绍其具体方程,一般都是近似处理,这样势必会降低分析的准确性。本文根据范成法制造齿轮的过程,采用包络曲线法建立渐开线部分和过渡曲线部分的方程,提高后续的建模分析精度。
范成法
近代齿轮的加工方法很多,有铸造法、热轧法,冲压法、模锻法和切齿法等。其中最常用的是切削方法,就其原理可以概括分为仿形法和范成法两大类。范成法是最常用的一种方法。利用一对齿轮互相啮合传动时,两轮的齿廓互为包络线的原理来加工的。将一对互相啮合传动的齿轮之一变为刀具,而另一个作为轮坯,并使二者仍按照原传动比进行运动。在传动过程中,刀具的齿廓在轮坯上形成一系列的曲线族,该曲线族的包络线便为所切齿轮的轮廓,如下图所示:
图 1 齿条刀具轮廓曲线族
常用的刀具有齿轮插刀,齿条插刀和齿轮滚刀。齿条刀具几何轮廓线简单,其在展成运动中的曲线族方程容易得到。因此本文以齿条刀具展成切削齿轮过程为例,先求出齿条刀具轮廓在展成运动中的曲线族方程,再根据包络线法求出其曲线族的包络线方程,即可得到齿轮轮廓线方程。
包络线简介
在几何学中,某个曲线族的包络线,是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线。(曲线族即一些曲线的无穷集,它们有一些特定的关系。)
一般地,设一个曲线族的每条曲线可表示为,其中是曲线族的参数是特定曲线的参数。若包络线存在,它是由得出,其中以下的方程求得:
若曲线族以隐函数形式表示,其包络线的隐方程,便是以下面两个方程消去得到。
轮廓曲线方程的建立
图 2 刀具齿轮坯坐标系
建立如图2所示的齿条刀具和齿轮坯的坐标系。曲线ABC为齿条刀具齿廓,其中AB段为直线,BC段位圆弧。m为齿轮模数,z为即将切出的齿轮齿数。d为齿条刀具节线与齿轮轮坯中心间的距离。设齿轮的变位系数为x,则d=m(z/2+x)。坐标系1与齿条刀具固连,坐标系2与齿轮坯固连。为了求取齿轮轮齿齿廓曲线方程,可将展成运动简化成如下运动:齿条刀具沿x1方向以速度v平动,齿轮坯绕自身原点以角速度w转动。v与w之间满足:
若以齿轮坯坐标系为参考坐标系,则展成运动可看成齿条刀具绕着坐标系2的原点转动,同时沿着切线方向平动。在运动过程中,AB线段曲线族的包络线就是齿轮轮齿的渐开线部分,BC段圆弧曲线族的包络线就是过渡线部分。
初始状态时,AB段曲线在坐标系1中的参数方程为:
BC段曲线在坐标系1中的参数方程为:
渐开线曲线方程的建立
时刻t时,AB段线段在坐标系2中的曲线族参数方程为:
令,则,AB段线段在坐标系2中的曲线族参数方程可变为:
消去得到
(1)
在方程(1)两边对求偏导得到:
(2)
联立式(1),式(2)可得:
其中,
,,
,
过渡曲线方程的建立
同理可得,BC段圆弧在展成运动过程中形成的曲线族在坐标系2中的参数方程:
其中,,,,
消去,可得:
(3)
方程两边对求偏导,可得:
(4)
其中,,,
,
联立上述两个方程求解可得到
在消去的过程中引入了多余的根,所以上述四组解中有三组是不符合要求的,通过实际作图判断,可以得到合理的一组解,作为过渡曲线在坐标系2中的参数方程。
经验证,过渡曲线参数方程应为
渐开线和过渡曲线参数取值范围
要得到齿轮轮齿的轮廓曲线,还需要知道其参数方程中参数的取值范围。渐开线的起始点为:渐开线与齿顶圆的交点(此时,);渐开线与过渡曲线的切点(此时,)。过渡曲线的起始点为:渐开线与过渡曲线的切点(此时,);过渡曲线与齿根圆的切点()。由于各切点方程和交点方程都是超越方程,其解析解不易求得,因此采用数值解法。
首先,确定参数的大致范围。参数的物理意义是,齿轮坯旋转的角度。外啮合齿轮的重合度小于2,因此,,必定落在区间内。当模数为1,齿数为41的齿轮轮齿渐开线和过渡曲线如图6所示。
齿顶圆的半径为定值,渐开线与齿顶圆只有一个交点,直接采用二分法,有哪些信誉好的足球投注网站,使得
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