[指导]如何有针对性运用积分变换解决连续线性控制问题.doc

拉氏变换在自动控制理论中的运用 摘要 拉普拉斯变换有很多公式的证明，性质定理，然而我们应该要有一个清晰地思路有针对性的运用积分变换解决连续线性控制问题。首先要知道拉普拉斯变换存在的两个条件，满足条件在自动控制系统工程方面的两个运用，分析数学模型中的函数类型，针对函数类型，运用拉普拉斯变换相对应的性质进行变换解答。在连续线性控制系统中，针对我们的专业特点，有针对性，高效地学习运用拉普拉斯变换解决控制系系统中的数学模型。 关键词： 拉普拉斯变换 自动控制理论 传递函数 数学模型 在线性控制系统中，对控制系统的分析和设计都要用到拉普拉斯变换，拉普拉斯变换作为一种数学工具，给我解答控制工程数学模型带来了方便。描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是建立在拉氏变换的基础上，使用拉普拉斯变换使我们的分析计算更加简洁、方便。我们要知道拉氏变换在控制工程中的应用条件，几个独特的性质定理以及特殊函数，学会用拉普拉斯变换去求解传递函数，微分方程，分析系统的稳定性。，因此《积分变换》课程对于自动化专业学习非常重要。 一．拉普拉斯变换在线性控制系统中存在的条件及意义。 在控制工程中，我们运用拉氏变换来解题时，首先要满足拉普拉斯变换在线性系统中存在的条件。我们要记住时间函数f(t)拉氏变换 F(s)=L[f(t)]= s为复频率，f(t)为象函数，f(t)= [F(s)], f(t)和F(s)构成一拉氏变换， 在我们运用拉氏变换解决连续线性控制问题时，我们要知道，时间函数要满足两个条件，在t≧0的有限区间上分段函数连续，当t→∞时f(t)的增长速度不要超过某一指数函数，即存在常数M＞0和≧0使得下式成立，。如果不满足上诉两个条件，那么我们在解决线性连续控制理论问题时就不能采取拉斯变换来解答，可能需要运用矩阵、行列式，微分方程等其他途径。 意义：在控制工程学中，拉普拉斯变换的重大意义在于将信号从时域，转化为复频域，在线性系统控制自动化上有广泛运用。 在线性控制理论很多基础的东西都会用到用拉氏变换。 已知控制系统结构图如图所示，求输入时系统的输出。 解 由图可得 又有 则 这道例题给了我们反馈控制系统的方框图，我们在图中，找出了输入函数，输出函数，利用反馈系统的特点，列出传递函数 ，它是一个连续线性控制问题，满足拉普拉斯变换在系统中的应用条件，运用拉氏变换对传递函数进行求解，求得系统的输出。 二．拉普拉斯变换在线性系统中应用的特殊函数和性质。 在自动控制系统中，解决线性控制问题时，拉普拉斯变换实际是一般都要用来解决四类函数的运算，分别是：阶跃函数、指数函数、正弦函数和余弦函数、t的幂函数 阶跃函数 在机电控制系统中经常会遇到阶跃函数的情况，如下图所示，在t＜0时，电路未加电压，U=0。在t=0时，合上开关，此后u=E.这函数符合拉普拉斯变换条件，它的拉普拉斯变换为 E=1时，u即为单位阶跃函数1 [t]，可见 L﹛1 [t]﹜= , 例如速度控制系统，室温调节系统，水位调节系统等可以采用阶跃函数作为典型输入信号。 指数函数 如控制电路中，主电路控制电容器的充电，电压的变化即为一指数函数，若指数函数为则其拉普拉斯变换 而 正弦函数和余弦函数 在实际中，航海于海上的船舶，由于收到海浪的冲击而摇把或颠簸，其摆幅随时间的变化规律近似于正弦函数。因此舰船上的各种设备的控制系统，其输入信号常用正弦函数来表述。根据欧拉公式将正弦化为指数函数形式，即 而 同理余弦函数 t的幂函数 原函数 象函数 ， 针对我们控制系统中遇到的四个函数，我们必须熟练的运用拉普拉斯变换性质定理中的7个特殊性质定理。分别是： 线性定理 两个函数和的拉氏变换，等于每个函数的拉氏变换的和，即 函数放大K倍的拉氏变换，等于函数拉氏变换的K倍，即 微分定理 函数求导的拉氏变换，等于拉氏变换乘以s的求导次幂。 同理，若出初始条件 则有 积分定理 一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s，即 位移定理 若的拉氏变换为，则有 例如： 则可以通过拉普拉斯变换的移位定理得： 初值定理 若函数及其一介导数都是可拉普拉斯变换的，则的初值为 6.终值定理 若且的所有奇点均在S平面的左半部，则 7.卷积定理 若原函数是和的卷积则 （A）原函数的“展宽” 在控制系统中，系统象函数的极点和零点“收缩”，取a=2,示意图如下。 我们在解答线性控制问题时，运用以上7个拉普拉斯变换的特殊性质，会使我们的解题变得更加简洁，但我们一定要记住它们应用特点。 三．拉普拉斯变换在线性控制系统中的应用。 (1)会用拉斯变换解决线性微分方程