第3章_线性方程组习题解答_精品.doc

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第3章_线性方程组习题解答_精品

习题3 3-1.求下列齐次线性方程组的通解: (1). 解 对系数矩阵施行行初等变换,得 , 与原方程组同解的齐次线性方程组为 , 即 (其中是自由未知量), 令,得到方程组的一个基础解系 , 所以,方程组的通解为 为任意常数. (2). 解 对系数矩阵施行行初等变换,得 , 与原方程组同解的齐次线性方程组为 , 即 (其中是自由未知量), 令,,得到方程组的一个基础解系 ,, 所以,方程组的通解为 ,为任意常数. (3). 解 对系数矩阵施行行初等变换,得 , 与原方程组同解的齐次线性方程组为 , 即 (其中是自由未知量), 令,,得到方程组的一个基础解系 ,, 所以,方程组的通解为 ,为任意常数. 3-2.当取何值时,方程组 有非零解? 解 原方程组等价于 , 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式 , 即 , 从而当和时方程组有非零解. 3-3.求解下列非齐次线性方程组: (1). 解 对增广矩阵施行行初等变换 , 因为,所以方程组有解,继续施行行初等变换 , 与原方程组同解的齐次线性方程组为 , 即 (其中为自由未知量), 令,得到非齐次方程组的一个解 , 对应的齐次方程组(即导出方程组)为 (其中为自由未知量), 令,,得到对应齐次方程组的一个基础解系 ,, 方程组的通解为 , 其中为任意常数. (2). 解 对增广矩阵施行行初等变换 , 因为,所以方程组有解,继续施行行初等变换 , 与原方程组同解的齐次线性方程组为 , 即 (其中为自由未知量), 令,得到非齐次方程组的一个解 , 对应的齐次方程组(即导出方程组)为 (其中为自由未知量), 令,,得到对应齐次方程组的一个基础解系 ,, 方程组的通解为 ,其中为任意常数. (3). 解 对增广矩阵施行行初等变换 , 因为,所以方程组无解. 3-4.讨论下述线性方程组中,取何值时有解、无解、有惟一解?并在有解时求出其解. . 解 方程组的系数行列式为 . (1)当时,即时,方程组有惟一解. (2)当时,即时, (i) 当时,原方程组为 , 显然无解. (ii) 当时,原方程组为 , 对该方程组的增广矩阵施行行初等变换 , 因为,所以方程组有无穷多组解, 与原方程组同解的方程组为 , 即 (其中为自由未知量), 令,得到非齐次方程组的一个解 , 对应的齐次方程组(即导出方程组)为 (其中为自由未知量), 令,得到对应齐次方程组的一个基础解系 , 方程组的通解为 ,其中为任意常数. 3-5.写出一个以为通解的齐次线性方程组. 解 由已知,和是齐次线性方程组的基础解系,即齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为2,而未知数的个数为4,所以齐次线性方程组的系数矩阵的秩为,故可设系数矩阵 , 由可知和满足方程组 , 即方程组的线性无关的两个解即为, 方程组的系数矩阵 , 该方程组等价于 (其中为自由未知量), 令,,得到该齐次方程组的一个基础解系 ,, 故要求的齐次线性方程组为,其中, 即 . 3-6.设线性方程组 , 的解都是的解,试证是向量组 ,,?,的线性组合. 证 把该线性方程组记为(*),由已知,方程组(*)的解都是的解,所以方程组(*)与方程组 , 同解,从而有相同的基础解系,于是二者有相同的秩,则它们系数矩阵的行向量组 和的秩相同,故可由线性表示. 3-7.试证明:的充分必要条件是齐次线性方程组的解都是的解. 证 必要性.因为,只须证与的基础解系相同.与的基础解系都含有个线性无关的解向量.又因为的解都是得解.所以的基础解系也是的基础解系.即与有完全相同的解.所以的解都是的解. 充分性.因的解都是的解,而的解都是的解,故与有完全相同的解,则基础解系也完全相同,故,所以. 3-8.证明的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量,使. 证 充分性.若存在列向量及行向量,其中不全为零,,则有 , 显然矩阵的各行元素对应成比例,所以. 必要性.若,则经过一系列的初等变换可化为标准形 , 而矩阵可以表示为 , 则存在可逆矩阵,使得,从而 ,其中均可逆, 记 , , 又因为可逆,则至少有一行元素不全为零,故列向量的分量不全为零,同理,因为可逆,所以行向量的分量不全为零.因此,存在非零列向量及非零行向量,使. 补充题 B3-1.设是矩阵,是非其次线性方程组所对应齐次线性方程组,则下列结论正确的是( D ). 若仅有零解,则有惟一解; 若有非零解,则有无穷多个解; 若有无穷多个解,则仅有零解; 若有无穷多个解,则有非零解. B3-2.设为阶实矩阵,是的转置矩阵,则对于线性方程组 (ⅰ); (ⅱ), 必有( D ). (A)(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解; (B)(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解; (C)(

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