江苏省丹阳市第三中学九年级数学辅优讲义8.docVIP

九年级数学辅优（8） 1．如图，已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD:DB＝3:1，则折痕EF的长． 蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有． 已知O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（，0），CAB=90°, AC=AB，顶点A在O上运动． 设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值；当直线AB与O相切时，求AB所在直线对应的函数关系式． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H．点G在⊙O上，过点G作直线EF，交CD延长线于点E，交AB的延长线于点F．连接AG交CD于K，且KE＝GE． （1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；[来源:Z。xx。k.Com] （2）若AC∥EF，，FB＝1，求⊙O的半径． 如图，PB为O的切线，B为切点，直线PO交于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交O于点A，延长AO与O交于点C，连接BC，AF． （1）求证：直线PA为O的切线； （2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；[来源:学_科_网] （3）若BC＝6，，求线段PE的长． ． 【解析】 试题分析：如图，过O作弦BC的垂线OP，垂足为D，分别与弧的交点为A、G，过切点F作PF⊥半径OC交OP于P点， ∵OP⊥BC，∴BD=DC，即OP为BC的中垂线. ∴OP必过弧BGC所在圆的圆心. 又∵OE为弧BGC所在圆的切线，PF⊥OE，∴PF必过弧BGC所在圆的圆心. ∴点P为弧BGC所在圆的圆心. ∵弧BAC沿BC折叠得到弧BGC，∴⊙P为半径等于⊙O的半径，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD. ∴OG=AP. 而F点分⊙O的直径为3：1两部分，∴OF=1. 在Rt△OPF中，设OG=x，则OP=x+2，∴OP2=OF2+PF2，即（x+2）2=12+22，解得x=. ∴AG=2-（）=. ∴DG=.∴OD=OG+DG=.[来源:Zxxk.Com] 2=OB2+OD2，即BD2=22-（）2，∴BD=. ∴BC=2BD=． 2．10. 【解析】 试题解析：如图， AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形， AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形， 综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个． 3．，其中-1≤x≤1S的最大值为，最小值为或. 试题解析：过点A作AEOB于点E 在Rt△OAE中，， 在Rt△BAE中， ∴，其中-1≤x≤1 ∴当x=-1时，S的最大值为，当x=1时，S的最小值为 （2）①当点A位于第一象限时（如图1），连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E， ∵直线AB与⊙O相切，∴∠OAB=90°. 又∵∠CAB=90°，∴∠CAB+∠OAB=180°.∴点O、A、C在同一条直线. ∴∠AOB=∠C=45°，即∠CBO=90°. 在Rt△OAE中，OE=AE=，点A的坐标为（，）. 又∵B的坐标为（，0），. ②当点A位于第四象限时（如图2），点A的坐标为（，）， ∵B的坐标为（，0），. 综上所述，过A、B两点的直线为或. 4．（1）相切，理由见解析；（2） 试题解析：（1）如图，连接OG． ∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG. ∵CD⊥AB，∴∠AKH＋∠OAG＝90°． ∵KE＝GE， ∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH.[来源:Zxxk.Com][来源:Z|xx|k.Com] KGE＋∠OGA＝∠AKH＋∠OAG＝90°. ∴∠OGE＝90°，即OG⊥EF. 又∵G在圆O上，∴EF与圆O相切． （2）∵AC∥EF， ∴∠F＝∠CAH， ∴Rt△AHC∽ Rt△FGO． ∴. ∵在Rt△OAH中，，设AH＝3t，则AC＝5t，CH＝4t． ∴. ∴. ∵FB＝1 ∴，解得：OG＝4． ∴圆O的半径为4 . 5．（1）（2）EF2=4OD?OP证明（3） 试题解析：（1）连接OB， ∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90° ∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB 又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS） ∴∠PAO=∠PBO=90°. ∴直线PA为⊙O的切线 （2）EF2=4OD?OP证明如下： ∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90° ∴∠OAD=∠OPA. ∴△OAD∽△OPA. ∴，即OA2=OD?OP 又∵EF=2OA，∴EF2=4OD?OP （3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=BC=3（三角形中位线