1-有限域-代数基础-群（一）.pptVIP

有 限 域 Finte Fields 四院五教 谭林 课程介绍 一门理论完善, 应用广泛的数学课 一门密码学专业必修的基础课 预修课程 高等代数、初等数论、近世代数 学习目标 理解有限域的基本概念和基本理论，运用有限域工具分析和解决特定问题，为专业学习打好基础。 学习要求 逻辑思维、想象力 * 学习安排 讲授、讨论、实验、辅导 考核方式 平时成绩（30%）：学习表现、作业、实验报告 期末考试（70%） 参考教材 Rudolf Lidl and Harald Niederreiter 《Finite Fields》1983, 1997. 《Introduction to Finite Fields and Their Applications》1986, 1994. * 第一章 代 数 基 础 * 二元运算（Binary operation） 设 S 是非空集合，则 S ? S 到 S 的映射称为集合 S 上的（二元）运算 (Operation)。 运算封闭 常用的运算： ab, a + b, a ? b * Algebraic System 代数系统（Algebraic system） 非空集合 S 以及定义在 S 上的一个或多个运算称为一个代数系统。 Abstract algebra investigates properties of operations and their consequences while neglecting the actual nature of the objects that these operations are performed on. * A nonempty set Binary operations Algebraic System 群（Group） 一个集合 ? 一种运算 ? 三条性质： 结合率：a???(b???c) ? (a???b)???c 单位元：存在 e ? G 使得对任意的 a ? G 有 a???e???e???a???a 逆元：对任意的a ? G , 存在 b ? G 满足 a???b???b???a???e 注:有没有不满足结合率的运算? 逆元是否一定存在? * Group 群的简单性质 单位元唯一 逆元唯一 消去律成立：即对 a,?b,?c?G, 若 ab???ac, 则 b???c; 若ba???ca, 则b???c. * Group 交换群（Commutative group） 设 G 是群，若对任意的 a, b?G 有a???b?=?b???a，则 G 称为交换群 (阿贝尔群); 否则, 称为非交换群。 * Group 群（Group） 设 G 是群, 则 G 中元素的个数称为群的阶（order）, 记作 |G|。 若 |G| 是有限的, 则称为有限群; 否则, 称为无限群。 * Group 乘法群与加法群 * Multiplicative Notations Additive Notations ab a + b 1 0 a?1 ?a an na anam ?an?m na ? ma ? (n?m)a (an)m ?anm m(na) ? (mn)a Group 例子 设G = {1,2,3,4,5,6,7}, 对任意的a, b?G, 令a ? b为a乘以b除以8的余数，即a ? b = (ab mod 8)，问G是群吗？ 设G = {1,2,3,4,5,6}, 对任意的a, b?G, 令a ? b为a乘以b除以7的余数，即a ? b = (ab mod 7)，问G是群吗？ 整数 Z, {e}, Z/(6) ? * Group 子群（Subgroup） 设?H?是群 G 的非空子集, 若在?G?的运算下,?H?构成群, 则称?H?是?G?的一个子群. 平凡子群、非平凡子群 设G?是有限群,?H?是群?G?的子群, 则 |H| 是 |G| 的因子。 设G?交换群, 集合 S 生成的G 的子群 〈S〉? {akbm , a, b ? S} 有限生成群 * Group 循环群(cyclic group) 由一个元素生成的群称为循环群.〈a〉= {an | n?Z}. 若〈a〉是有限群, 则〈a〉的阶也称为元素 a 的阶, 记为ord(a). 若 a 的阶为k, 则am = e当且仅当k | m. * Group 问题 设G = a是阶为m的循环群. 若 H 是 G 的子群, 问H是循环