1.2.1--任意角的三角函数ppt.pptVIP

* 1.2.1 任意角的三角函数 1.复习引入 我们已经学习过锐角的三角函数，如图： 你能在直角坐标来表示锐角三角函数吗? A B C 设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限. α的终边上任意一点P的坐标为(a,b),它与原点的距离是_______________ 过P作x轴的垂线,垂中为M,则线段OM的长度为___线段MP的长度为___ 2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数 M y x O α P(a,b) M y x O α P(a,b) P(a,b) M A(1,0) x y α 1 将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上 以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆 P(x,y) A(1,0) x y α 3.利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y) (1) y叫做α的正弦,记作sinα, 即 sinα=y (2) x叫做α的余弦,记作cosα, 即 cosα=x (3) 叫做α正切,记作tanα, 即 4.三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系 三角函数可以看成自变量为实数的函数 y x B A O 解: 在直角坐标系中,作出 5.典型例题 练 例2 已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值 解: 设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P、P0作x轴的垂线MP、M0P0,则 y x O M M0 P0(-3,-4) P(x,y) 知道α终边上任意一点P(x,y),就可以求出角α的三角函数值. y x O M P(x,y) α 练 6.三角函数的定义域 tanα cosα sinα 定义域 三角函数 R R 根据三角函数的定义,研究三角函数值在各个象限的符号 - + + + + + - - - - - + y O x O x y O x y 例3 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ为第三角限角 ① ② 证明:如果①②式都成立,那么θ为第三象限角. 若sinθ0,那么θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y轴的非正半轴上 又若tanθ0,那么θ角的终边可能位于第一或第三象限. 因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于第三象限.于是θ为第三象限角 可以把求任意角的三角函数值.转化为求0到2π(或0°至360°)角的三角函数值. 7.终边相同的角的同一三角函数值相等 公式一 角α终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现 例4 确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: 解:(1)因为250°是第___象限角,所以cos250° 0 (2)因为 是第____象限角,所以 (3)因为tan(-670°)=tan(48°-2×360°)=tan48°而48°是第一象限角,所以 tan(-672°) 0 (4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ=0 三 四 练 例5 求下列三角函数值 y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P α的终边 α的终边 α的终边 α的终边 A(1,0) A(1,0) A(1,0) A(1,0) (Ⅳ) (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) 1.下面从图形角度认识一下三角函数 角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线,垂足为M. |MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα| 思考 (1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致? |MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα| 当角α的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定: 当线段OM与x轴同向时,OM的方向为正向,且有正值x;当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向,且有负值x. OM=x=cosα 当角α的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定: 当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且有正值y;当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y. MP=y=sinα (2)你能借助单位圆,找到一条如OM、MP一样的线段来表示角α的正切吗? 思考 T T T y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P α的终边 α的终边 α的终边 α的终边 A(1,0) A(1,0) A(1,0) A(1,0) (Ⅳ) (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) T 过点A(1,0)作单位圆的切线