11-微积分的产生-（二）.pptVIP

教 师： 郑神州 办公室： 7号楼118 办公室电话：118 Email : shzhzheng@bjtu.edu.cn 微积分的创立 ——变量的数学 初等数学时代（17世纪前） —— 常量的数学 算术 初等几何 初等代数 初等数学时代 —— 算术 数的起源 起初，人们没有数的概念。 在生产实践中人们逐渐把数了解为物体集合不可或缺的属性。 在更高的发展阶段，数作为抽象的概念而出现。 初等数学时代 —— 算术 数的记号：现代的阿拉伯数字和数字书写法起源于印度，十世纪时由阿拉伯人从印度传入欧洲，再经历好几个世纪后才最终固定下来。 数的运算及数制的完善。 算术概念最终产生并作为一种理论出现。 初等数学时代 —— 初等几何 几何的起源 起初，人们没有几何对象的概念。 在生产实践中人们逐渐把一些具体的几何形状了解为物体不可或缺的属性。 在更高的发展阶段，一些几何体甚至几何量(长度、面积、体积)作为抽象的概念而出现。 初等数学时代 —— 初等几何 初等数学时代 —— 初等几何 欧几里德《几何原本》的出现(约公元前三世纪)使得几何学作为一门理论第一次被完整而严密的表述 —— 初等几何学。 拉丁文译本 徐光启和利玛窦 初等数学时代 —— 初等几何 欧几里德《几何原本》的出现(约公元前三世纪)使得几何学作为一门理论第一次被完整而严密的表述 —— 初等几何学。 初等几何学的研究对象，主要是静态的有很强对称性的几何体。 初等数学时代 —— 初等代数 初等代数学来源于算术的发展，它的基础是脱离了具体数字在一般形态上形式地加以考察的关于算术运算的学说。 事实上，英文的代数一词 algebra 本意就是整理和对比：整理 —— 把负项移到方程的另一边，对比 —— 把方程两边的相同项消掉。 初等数学时代（17世纪前） —— 常量的数学 算术 初等几何 初等代数 哪些主要的科学问题呢? 有四种主要类型的问题. 微积分的创立，首先是为了处理十七世纪主要的科学问题。 已知物体的移动距离和移动时间的函数式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数式，求速度和距离。 困难在于：例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。 求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。 困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。 求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心。 困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。 穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。 圆可以被圆内接多边形穷竭。 在圆里面内接一个正方形。 圆可以被圆内接多边形穷竭 32边形 64边形 16边形 这种做法你想做多少次就可以做多少次。可以肯定，圆与某一边数足够多的正多边形面积之差可以弄得比任何预先给定的量还要小。 微积分的基本内容 研究函数，从量的方面研究事物的运动变化是微积分 的基本方法。这种方法叫做数学分析。 本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等 许多数学的分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词。 微积分的内容包括 微分学 和 积分学。 微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。这两种过程的一些特殊情况，甚至在古代就已经有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰）。 然而，微积分的系统发展是在十七世纪才开始的，通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到：过去一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是彼此互逆的联系着。 牛顿