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第四章 解析几何 变量数学的开端 变量数学的产生 经济背景 17世纪的欧洲是一个经济迅速增长的时代。经济的增长需要科学和技术的进步为其后盾。 数学背景 由认为数学是一种理论体系转而认为数学更是解决实际问题的工具。 Descartes：当我想到，为什么古代的那些早期的哲学先驱拒绝让那些不懂得数学的人研究学问，……我就怀疑到他们所拥有的那种数学知识和我们现在流行的数学知识是很不相同的。我越想越觉得如此。 Fermat 的解析几何 是17世纪法国众多数学家中重要的一位。他早年曾任地方议会议员和律师，30岁左右开始研究数学，在解析几何、微积分、概率论及数论等方面，都作出了开创性的贡献。 相信只有借助于代数，才能使几何获得统一的表示和解决问题的统一方法 。 1629年，Fermat撰写《平面和立体轨迹引论》一书，开始了数学方法统一性的最初尝试。 Fermat的不足之处 对纵坐标如何依赖于横坐标注意得不够，从而不能很好的反应曲线轨迹的变化情况。 没有完全摆脱Apollnius的思想方法的影响，没有建立起他自己的坐标系统，更没有说清楚把每一个线段与确定的实数联系起来的可能性。 Descartes 西方哲学史上第一个近代哲学家，科学方法论创立者之一。 恩格斯：“辩证法的卓越代表”。 Descartes的解析几何思想是他的科学方法论的产物。 笛卡儿把数学方法提高到了科学方法的中心地位，但他并不像Pythagoras和柏拉图那样，认为数学仅仅具有纯粹的哲学意义，而认为数学是一种科学方法，是获得知识的基本手段。 Descartes 名言 一切问题可以化为数学问题 一切数学问题可以化为代数问题 一切代数问题可以化为方程求解问题 Descartes的《方法论》 书的全名是《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，出版于1637年。 他首先指出，任何几何作图问题的实质在于，定出所求线段的长度。 引入了单位线段的概念，建立起线段与数之间的平行关系。 冲破了禁锢数学思想长达千余年的所谓“齐次原则”。 * * “科学上没有什么肯定的事情用不上数学”--达.芬奇 代数学出现了两个新的发展势头，一是数学符号化的倾向，二是对解方程理论的深入研究。 P. de Fermat (1601-1665) Fermat把希腊数学中用立体图苦心研究所发现的曲线的特征，通过引进变量（坐标）以一贯的方式成功地译成了代数的语言。这也就是解析几何的核心之所在。 明确地表示曲线与方程的联系，应该是双向的，即借助于曲线来研究方程和考察方程所定义的曲线。 Fermat还注意到，通过坐标轴的平移和旋转，可以使方程简化，但他没有给出详尽阐述。 Descartes(1596-1661) 　　经过认真的分析和比较，笛卡儿确认“只有代数才是更灵活的更普遍的数学技巧”，他是逻辑的引申，是处理量的一门有用的科学，因而“在逻辑次序上应领先于几何”。 　　但是，应该注意的是，从提供物质世界的知识这个意义上说，他并不认为代数是一门科学，而只是把它看作是进行推理--特别是关于抽象的未知量进行推理的有力方法，是他寻求的认识世界的总方法里的一部分。正是出于这种认识，他怀着极大的兴趣，进行用代数来改造传统数学的方法的实验，其结果是开创了解析几何。