集合基数(00001).pdf

第2节 集合的基数 集合的基数: 描述集合包含元素的多少. 定义1.7. 设X , Y 是两个非空集合. 若存在一种对应 关系f ,使得每个 x ∈X 都有唯一的y ∈Y 与之对应, 则称f 为X 到Y 的一个映射, 记为 f : X →Y . 同时称y =f (x)为x 在f 下的像, x 为y 的原像. 像集: f (A ) {y ∈Y |y f (x ),x =∈A ⊂X }. f : X →Y 是满射指的是f (X ) =Y. 定义1.8. 对于f : X →Y , 若对任意的 x , x ∈X , 1 2 只要x ≠x , 就有f (x ) ≠ f (x ), 1 2 1 2 则称f 是X 到Y 的单射. 定义1.9. 若f : X Y 既是单射又是满射, 则称 f 为X 到Y 的一一映射. 注 1. 若f 是单射, 则f 是X 到f (X ) 的一一映射. 注 2. 若f 是X 到 Y 的一一映射，则就在X 和Y 之间 建立了一个一一对应的关系. 此时可认为X 与Y 的元素一样多. 定义1.10. 若存在一个由集合X 到集合Y 的一一映射, 即X 与Y 之间存在一一对应, 则称X 与Y 是对等的, 记为X ～Y. 注: 对等集合的元素一样多. 对等关系具有的性质: (1)(反身性) X ～X; (2)(对称性)若 X ～Y, 则 Y ～X; (3)(传递性)若 X ～Y, Y ～Z, 则 X ～Z. 若X与Y 对等,则称Y 与X 有相同的 势(基数), 记作 X Y 势是对有限集元素个数概念的推广 例 1)N ~ N 奇数 ~ N 偶数 1,2,3,4,5,6,7,8, 1,2,3,4,5,6,7,8, n 9,10,... 9,10,... 1,3,5,7,9,11,13, 1,3,5,7,9,11,13, 2n-1 15,... 15,... 2,4,6,8,10,12,14 2n 2,4,6,8,10,12,14 ,16... ,16... π f x :tg x ( → ) 2)( 1,1) ~ ( , ) − −∞+∞ 例 2 3){ 去掉一个点的圆周} ~ (