第三章2.1实际问题中导数的意义.docx

§2　导数在实际问题中的应用2．1　实际问题中导数的意义[学习目标]1．理解平均变化率与导数的关系．2．理解导数的实际意义．3．体会导数意义在实际生活中的应用．[知识链接]吹气球时，会发现：随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，能从数学的角度解释这一现象吗？答　根据题意V(r)＝πr3, 即r(V)＝，显然r′(V)＝′＝·V－0，r(V)是单调递增函数，所以随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加．又(V－)′＝－·V0，∴r′(V)是单调递减函数，因此增加得越来越慢．[预习导引]1．生活中的变化率问题(1)在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特．(2)在气象学中，通常把在单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨的一个重要指标．(3)在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本，f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本．2．导数在实际问题中的应用在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合具体问题进行分析，在某一点处的导数的实际意义是当自变量在该点处的改变量趋近于零时，平均变化率所趋近的值，问题不同有不同的意义．(1)功率是功关于时间的导数．(2)降雨强度是降雨量关于时间的导数．(3)边际成本是成本关于产量的导数．(4)速度是路程关于时间的导数．(5)线密度是质量关于长度的导数．(6)气球的膨胀率是气球半径关于体积的导数．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　要点一　导数在物理中的应用例1　自由落体运动的运动方程为s＝gt2，①求t从3 s变到3.1 s时，s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；②求s′(3)(s的单位为m，t的单位为s)．解　①Δs＝s(3.1)－s(3)＝g×3.12－g×32＝0.305g(m)，Δt＝3.1－3＝0.1(s)，∴＝＝3.05g(m/s)．它表示从t＝3 s到t＝3.1 s这段时间内，自由落体运动的物体的平均速度为3.05g(m/s)．②s′＝gt，∴s′(3)＝3g(m/s)．它表示自由落体运动的物体在t＝3 s时的瞬时速度为3g(m/s)．规律方法　函数的导数即函数的瞬时变化率，在不同的环境中可具有不同的实际意义，在本例中，t＝3时，即在3 s时的瞬时速度．跟踪演练1　高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝ s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解　令t0＝，Δt为增量．则＝＝＝－4.9＋6.5，∴＝[－4.9＋6.5]＝0.即运动员在t0＝ s时的瞬时速度为0 m/s.说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．要点二　导数在经济生活中的应用例2　东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600.(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；(3)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义．解　(1)产量为1 000台时的总利润为c(1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)，平均利润为＝5 000.6(元)．(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为＝＝2 000(元)．(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7 000x＋600)′＝－4x＋7 000，∴c′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)，c′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)，说明：当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元．而当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元．规律方法　明确导数在实际问题中的意义是解答此类问题的关键，边际成本为生产成本y关于产量x的函数的导函数．跟踪演练2　已知某商品的成本函数为C(Q)＝100＋(Q为产品的数量)．(1)求Q＝10时的总成本、平均成本及边际成本；(2)当产量Q为多少时，平均成本最小？最小为多少？解　(1)Q＝10时的总成本C(10)＝100＋＝125；Q＝10时的平均成本＝＝12.5.边际成本即成本函数C(Q)对产量Q的导数，故边际成本C′(Q)＝Q，Q＝10时的边际成本是C′(10)＝5.(2)由(1)得，平均成本＝＝＋，而＋≥2·＝10，当且仅当＝，即Q＝20时，等号成立，所以当产量Q为20时，平均成本最小，且平均成本的最小值是10.要点三　导数在日常生活中的应用例3