高一下清北班资料9不等式的证明.doc

专题九：不等式的证明选讲 一、基础梳理 不等式的证明方法： （1）比较法：作差比较：；作商比较：。 作差（商）比较的步骤： ①作差（商）：对要比较大小的两个数（或式）作差（商）； ②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和（对商式进行因式分解或约分等）； ③判断差的符号（商与1的大小）：结合变形的结果及题设条件判断差的符号（商与1的大小）。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 （2）综合法：由因导果。 （3）分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证…… ①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。 ②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。 （4）反证法：正难则反。 （5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放缩法的方法有： ①添加或舍去一些项，如：；； ②将分子或分母放大（或缩小）； ③利用基本不等式， 如：；； ④利用常用结论： Ⅰ）； Ⅱ） ； （程度大） Ⅲ） 。（程度小） Ⅳ） （程度更小） Ⅴ）真分式放缩：；假分式放缩： （6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如： 已知，可设； 已知，可设； 已知，可设； 已知，可设。 （7）构造法：通过构造函数、图象与图形、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。 证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法、放缩法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。 二、能力巩固 1.设, , , 求证： （1）若，求证：； （2）在（1）的条件下，证明函数的图像与x轴总有两个不同的公共点A,B，并求的取值范围； （3）若，求证：时，恒有。 2．已知数列的前项和满足。 （1）写出数列的前三项； （2）求数列的通项公式； （3）证明：对任意的整数，有。 3．设各项为正的数列满足：令 (Ⅰ)求 (Ⅱ)求证： 4.在数列中，已知，，。 （1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）求证：，。 5．在数列。 （Ⅰ）设，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）设，数列的前ｎ项和为Sn，求Sn； (Ⅲ)设，求证：。 6．已知数列满足，，。 （1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）设，求证：。 7.已知。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设为数列的前项和，求证：； （Ⅲ）求证：。 8．已知数列中，a1=1，且满足递推关系 （1）当m=1时，求数列的通项 （2）当时，数列满足不等式恒成立，求m的取值范围； （3）在时，证明 9．古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在柱上，现要将套在柱上的盘换到柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子可供使用. 现用表示将个圆盘全部从柱上移到柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题： (1)写出 并求出 (2)记 求和 (其中表示所有的积的和) (3)证明：。 第 1 页 共 6 页