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学考第1周：集合与函数 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 一、集合的含义与表示 1、集合的含义：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2、集合的中元素的三个特性： （1）确定性：给定的集合，它元素必须是确定的。 （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的。 （3）无序性：组成集合的元素没有顺序。 3、元素与集合的关系 元素与集合的关系 记法 读法 a是集合A中的元素 a∈A a属于集合A a不是集合A中的元素 aA a不属于集合A 4、常用数集及其记法 数集 非负整数集（自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或 Z Q R 5、集合的表示法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。如：{1，2，3，4，5} （2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是{x∈R| x-32}或{x| x-32} （3）图示法（Venn图） 二、集合间的基本关系 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 （或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则 或 真子集 AB （或BA） ，且B中至少有一元素不属于A (1)（A为非空子集） (2)若且，则 集合 相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集. 总结：1.任何一个集合是它本身的子集。 2.若已知集合A有个元素，则它有个子集，有个真子集，有非空真子集。 三、集合的基本运算 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 且 （1） （2） （3） 并集 或 （1） （2） （3） 补集 CUA A∩(CUA)= A∪(CUA)=U CU(CUA)=A 1.2 函数及其表示 一、函数的概念 1、函数的概念 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 【解题技巧】 1.求定义域时列不等式组的主要依据是 （1）分式的分母不等于0； （2）偶次方根的被开方数大于等于0； （3）零次幂的底数不为0； （4）若函数是由几个式子构成，求其定义域时要满足各式子都有意义（取交集）. （5）指数为零底不可以等于零 （6）对数式的真数必须大于零; （7）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1. 2．求值域的方法 : （先考虑定义域） (1)配方法 (2)换元法 2、构成函数的三要素 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。 相同函数的判断方法： 定义域一致；（与表示自变量和函数值的字母无关） 表达式相同 (两点必须同时具备) 区间 (1)一般区间的表示（为实数，且） 定义 名称 符号 开区间 闭区间 半开半闭区间 半开半闭区间 (2)特殊区间的表示 定义 R 记法 三、函数的表示法 1、常用的函数表示法 （1）函数的表示法：解析法、图象法、列表法 （2）求函数的解析式的主要方法： 待定系数法：若已知数学函数模型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法。 2、分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数叫做分段函数。分段函数的解析式应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． （3）函数一定是一种对应可以“一对一”或“多对一”“不可以一对多” §1.3.1、单调性与最大（小）值 一、函数单调性与最大（小）值 1、函数的单调性定义 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函 数 的 单 调 性 当x1x2时,都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数． 定义法判断函数的单调性 ①取值：令x1，x2∈D，且x1x2； ②作差变形：（f(x1)－f(x2)，通常用因式分解、配方和有理化等方