2007线性代数期终试卷A.doc

复旦大学信息科学与工程学院 《线性代数》期终考试试卷 （A卷）共9 页 课程代码：INFO120007.0_ 考试形式：闭卷 2008年 1月17日13:00-15:00 （本试卷答卷时间为120分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效） 专业 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 计算ｎ阶行列式的值： （共20分） 1. （10分） 2. （10分） 二、假设Frobenius矩阵： ，其中。 （1）求逆阵； （2）计算：，其中是行列式第行，第列元素所对应的代数余子式。（11分）  设是复数域上四维线性空间的一组基，是上的一个线性变换，它在这组基下的矩阵为，即。（1）求的所有的特征值与特征向量；（2）求一个正交阵使得为对角阵。(12分) 证明：任何实二次型的标准形不是唯一的，但规范形是唯一的。（共12分）  设分别为实数域上m阶、n阶方阵，试证明：（1）如果都相似于对角矩阵，则也相似于一个对角矩阵。（2）设相似于一个对角矩阵，即存在一个可逆矩阵，使得。对进行分块，令，其中是阶矩阵，是阶矩阵。试证明：的每一列都是的特征向量，的每一列是的特征向量，并且。（3）相似于一个对角矩阵当且仅当都相似于对角阵。(共12分) 六、设为实数域，在线性空间中：请分别求和的维数及一个基。 （12分）  设是实数域上的维线性空间，是上的线性变换，且，其中不为纯量阵，是上的恒等变换。证明：（1）的特征值-1和3;（2）对任意的向量，有；（3）且，其中与分别是属于-1与3的特征子空间。 (共9分，每小题3分) 八、设为实数域，为实数域上全体阶矩阵的集合。在中定义加法、数乘如下：， 。 显然在上面的加法、数乘下构成一个线性空间。在线性空间中，试求下面向量组的极大线性无关组： （共12分） 第 8 页 第 7 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）