习题3设用正则化方法求对应的LS问题的解［解］由定理314.doc

习题3 １．设 用正则化方法求对应的ＬＳ问题的解． ［解］由定理３.1.4可知, ＬＳ问题的解就是下列正则化方程组解： 即 解得： ２．设 求对应的ＬＳ问题的全部解． ［解］由定理３.1.4可知, ＬＳ问题的解就是下列正则化方程组解： 经初等行变换得其同解方程组 从而 即 , 其中 设,求一个Householder变换和一个正数使得 [解] 由于2范数具有正交不变性, 故. 于是 于是,令 那么,可以验证满足该题的要求. 4．确定和使得 ［解］由２范数具有正交不变性，故 于是 从而 ５．假定是一个二维复向量，给出一种算法计算一个如下形式的酉矩阵 使得的第二个分量为零． ［解］对于复向量的２范数定义如下： 显然，在复数空间中，2范数仍然保持着正交不变性。即对酉矩阵Q有 根据题意，不妨设，从而 注意到 于是 由，从而 不妨设，即 ， 又因，所以 . 6．假定和是中的两个单位向量，给出一种使用Givens变换的算法，计算一个正交阵，使得 [解] 首先考虑对指定的一个二维非零向量和一个实数，如何构造Givens变换 使。注意2范数的正交不变性，则 (这里我们假定了，稍后对此加以处理) 那么，G应满足 即 注意，则矩阵 于是 这样，我们便可考虑从的前两个分量开始，施以Givens变换，便其第一个分量变换为. 然后对施以Givens变换，使其首分量变换为；这样一直继续次变换，最后使得变换为 几点说明： ? 为使算法能一步步正常进行，需要首先对单位向量用一组Givens变换进行规范化处理，使其成为标准单位向量.这样在接下来的步的Givens变换中就能保证. ? 在规范化后，对其实施正交变换的每一步中，可以通过逐次计算向量的范数，当其等于1时，即可结束算法。因为此时，和的剩余分量均以为零。 算法总结： 算法1（用Givens变换求正交矩阵使单位向量满足：） void standard(double **g,double *x,int n) { ??? int i,j; ??? for(i=0;in;i++) ??????? for(j=0;jn;j++) ??????????? if(j==i) g[i][j]=1; else g[i][j]=0; ??? double c,s; ??? double a,b,t; ??? for(i=n-2;i=0;i--) ??? { ??????? if(x[i+1]==0) ??????牋牋?continue; 牋牋牋?else if(fabs(x[i+1])fabs(x[i])) 牋牋牋?{ 牋牋牋牋牋?t=x[i]/x[i+1]; 牋牋牋牋牋?s=1.0/sqrt(1.0+t*t); 牋牋牋牋牋?c=s*t; 牋牋牋?} 牋牋牋?else 牋牋牋?{ 牋牋牋牋牋?t=x[i+1]/x[i]; 牋牋牋牋牋?c=1.0/sqrt(1.0+t*t); 牋牋牋牋牋?s=c*t; 牋牋牋?} 牋牋牋?x[i]=c*x[i]+s*x[i+1]; 牋牋牋?x[i+1]=0; 牋牋牋?for(j=0;jn;j++) 牋牋牋?{ 牋牋牋牋牋?a=g[i][j];b=g[i+1][j]; 牋牋牋牋牋?g[i][j]=c*a+s*b; 牋牋牋牋牋?g[i+1][j]=c*b-s*a; 牋牋牋?} 牋?} } 算法2（计算Givens变换，，其中已知） void GetCS(double *g,double *x,double y) { 牋?double a; 牋?a=sqrt(x[0]*x[0]+x[1]*x[1]-y*y); 牋?if(a==0) 牋?{ 牋牋牋?g[0]=1; 牋牋牋?g[1]=0; 牋?} 牋?else 牋?{ 牋牋牋?g[0]=(x[0]*y+a*x[1])/(x[0]*x[0]+x[1]*x[1]); 牋牋牋?g[1]=(x[1]*y-a*x[0])/(x[0] ??????? if(x[i+1]==0) ?????*x[0]+x[1]*x[1]); 牋牋牋?x[0]=y; 牋牋牋?x[1]=a; 牋?} } 算法3（使用Givens变换，求正交矩阵G使单位向量满足：） void XtoY(double **g,double *x,double *y,int n) { 牋?standard(g,x,n); 牋?double c,s,t; 牋?double cs[2]; 牋?t=0.0; 牋?for(int i=0;in-1;i++) 牋?{ 牋牋牋?GetCS(cs,