厄米算符本征值和本征函数.ppt

3.3 厄米算符的本征值和本征函数 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 * * 若 、 为常数 它具有下述性质： （3.3.2） 为说明量子力学中能表示力学量的算符的性质，本节将介绍一种具有非常重要性质的算符-厄米算符。为此，先引进一些定义： 1.希尔伯特空间中矢量的内积 希尔伯特空间中的两个态矢量，在选定基矢后的两 个波函数 和 的内积为 （3.3.1） 2. 转置算符 若算符 满足 （3.3.3） 即 （3.3.4） 则称 为转置算符。 为任意函数。 3. 复共轭算符 将算符 中的所有复量均换成它的共轭复量，称为 的复共轭算符 。例如算符 的复共轭算符 。 4. 厄米算符 算符 的厄米共轭算符 ，定义为 （3.3.5） （3.3.6） 则 厄米算符具有下列性质： a.两厄米算符之和仍为厄米算符。 只有在 时， ，才有 ，即 仍为厄米算符。 b.当且仅当两厄米算符 和 对易时，它们之积才为厄米算符。因为 （3.3.7） c.无论厄米算符 、 是否对易，算符 及 必为厄米算符，因为 （3.3.8） d.任何算符总可分解为 （3.3.9） 令 、 ，则 和 均为厄米算符。 在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。 厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有下列性质： 厄米算符的平均值是实数，因为 （3.3.10） 厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均值就是本征值。 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。 厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一化。 厄米算符的本征函数系具有完备性。 厄米算符的本征函数系具有封闭型。 性质 的证明：由 得 上式并不足以说明算符 厄米，因为 是同一个态。要证明 厄米，必须按厄米算符的定义，证明 成立，而且 、 为任意波函数。为此令 ，利用（1）式得 （1） （2） 因为 在 、 中的平均值也是实数，所以上式又写为 （3） 因此， 必为厄米算符。得证。 （ 为任意实数） 对 和 作变换，令 代入（3）式后得 （4） 因为 任意，上式成立的充要条件为 且 ，因为 是厄米算符，它的本征函数是实数， 。本征方程的共轭方程为 性质 的证明： 由 及 的厄米性质， ，及 得 又因 得 得证。若本征函数是正交归一化的，则有 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交归一。 *