2018年成人高考专升本笔记高等数学一已排版.doc

（一）数列的极限 1.数列 按一定顺序排列的无穷多个数 称为数列，记作，其中每一个数称为数列的项，第n项。为数列的一般项或通项，例如 （1）1，3，5，…，，… （2） （3） （4）1，0，1，0，…，… 都是数列。 在几何上，数列可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点。 2.数列的极限 定义对于数列，如果当时，无限地趋于一个常数A，则称当n趋于无穷大时，数列以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作 否则称数列没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。 数列极限的几何意义：将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点可以无限靠近点A。 （二）数列极限的性质 定理1.1（惟一性）若数列收敛，则其极限值必定惟一。 定理1.2（有界性）若数列收敛，则它必定有界。 注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。 定理1.3（两面夹定理）若数列，，满足不等式且。 定理1.4若数列单调有界，则它必有极限。 下面我们给出数列极限的四则运算定理。 定理1.5 （1） （2） （3）当时， （三）函数极限的概念 1.当时函数的极限 （1）当时的极限 定义 对于函数，如果当x无限地趋于时，函数无限地趋于一个常数A，则称当时，函数的极限是A，记作或（当时） （2）当时的左极限 定义 对于函数，如果当x从的左边无限地趋于时，函数无限地趋于一个常数A，则称当时，函数的左极限是A，记作或　 例如函数 　 当x从0的左边无限地趋于0时，无限地趋于一个常数1.我们称：当时，的左极限是1，即有 （3）当时，的右极限 定义 对于函数，如果当x从的右边无限地趋于时，函数无限地趋于一个常数A，则称当时，函数的右极限是A，记作 或 又如函数 当x从0的右边无限地趋于0时，无限地趋于一个常数-1 。因此有 这就是说，对于函数 当时，的左极限是1，而右极限是 -1，即 但是对于函数，当时，的左极限是2，而右极限是2。 　 显然，函数的左极限、右极限与函数的极限之间有以下关系： 定理1.6 当时，函数的极限等于A的必要充分条件是 这就是说：如果当时，函数的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。 反之，如果左、右极限都等于A，则必有。 这个结论很容易直接由它们的定义得到。 以上讲的是当时，函数的极限存在的情况，对于某些函数的某些点 处，当时，的极限也可能不存在。 2.当时，函数的极限 （1）当时，函数的极限 定义 对于函数，如果当时，无限地趋于一个常数A，则称当 时，函数的极限是A，记作或（当时） （2）当时，函数的极限 定义 对于函数，如果当时，无限地趋于一个常数A，则称当 时，函数的极限是A，记作 这个定义与数列极限的定义基本上一样，只不过在数列极限的定义中一定表示，且n是正整数；而在这个定义中，则要明确写出，且其中的x不一定是整数。 如函数，当时，无限地趋于常数2，因此有 （3）当时，函数的极限 定义 对于函数，如果当时，无限地趋于一个常数A，则称当时，的极限是A，记作 又如函数，当时，无限地趋于常数2，因此我们说，当时，函数的极限是2，即有 由上述，，时，函数极限的定义，不难看出：时，的极限是A，这表示当且仅当以及时，函数有相同的极限A。 但是对函数来讲，因为有,即虽然当时，的极限存在，当时，的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当时，的极限不存在。 例如函数，当时，无限地趋于常数1：当时，也无限地趋于同一个常数1，因此称当时的极限是1，记作 其几何意义如图3所示. （四）函数极限的定理 定理1.7 （惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。 定理1.8 （两面夹定理）设函数，，在点的某个邻域内（可除外）满足条件 且有 。 注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立。 下面我们给出函数极限的四则运算定理 定理1.9 如果 　则 （1） （2） （3）当 时， 上述运算法则不难推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，并有以下推论： 推论 （1） （2） （3） 用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零，另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立。 （五）无穷小量和无穷大量 1、无穷小量（简称无穷小） 定义 对于函数，如果自变量x在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变化过程中，为无穷小量，一般记作 在微积分中常用希腊字母来表示无穷小量。 这里说的自变量x在某个变化过程中是指当 或，或，或，或，或中的一个。为了简单起见，我们没有专门再提出数列，而把它归入函数之中，并且有时将数列与函数统称为变量。 定理1.10 函数以A为极限的必要充分条件是：可表示为A与一个无穷小量之和。 注意： （1）无穷小量是